Ex. 4: Considere um volume de controle representativo de uma porção do oceano. As propriedades do fluido podem variar no tempo e no espaço, mas o movimento é regido pelas leis de conservação aplicadas a um fluido contínuo.
a) Liste as principais equações de conservação utilizadas na dinâmica dos oceanos (massa, quantidade de movimento e energia/temperatura/salinidade).
b) Para cada uma das equações, identifique claramente as variáveis oceanográficas envolvidas (por exemplo: velocidade, densidade, pressão, temperatura, salinidade).
c) Com base nessas equações, explique brevemente quais são as incógnitas e quais são as relações de fechamento necessárias para determinar completamente o sistema de equações oceanográficas (por exemplo, a equação de estado da água do mar).

Passo 1

O exercício pede três coisas claras:
  1. Liste as principais equações de conservação aplicadas a uma porção do oceano.
  2. Para cada equação, identifique as variáveis oceanográficas que aparecem (ex.: velocidade, densidade, pressão, temperatura, salinidade).
  3. A partir dessas equações, explique quais são as incógnitas do sistema e quais relações de fechamento (constitutivas) são necessárias para que o sistema fique determinado (por exemplo: equação de estado, parametrizações de mistura turbulenta, condições de contorno).
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado:
  • Trabalhamos com um volume de controle do oceano (fluido contínuo), onde propriedades variam no espaço e no tempo.
  • Devemos tratar conservação de massa, quantidade de movimento e conservação de energia/traçadores (temperatura e salinidade).
  • Podemos usar simplificações típicas da dinâmica oceânica (por exemplo, Boussinesq, hydrostatic) quando apropriado — se eu fizer alguma dessas aproximações vou explicar quando e por quê.

Passo 2

Equação de conservação de massa — apresentação e formas relevantes.
A forma geral (compressível) da conservação de massa é a equação da continuidade:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho \mathbf{u}) = 0,
onde:
  • \rho(\mathbf{x},t) é a densidade do fluido,
  • \mathbf{u}(\mathbf{x},t) = (u,v,w) é o vetor velocidade (componentes leste u, norte v, vertical w),
  • \nabla\cdot é a divergência espacial.
Explicação didática da equação: a variação temporal da densidade num ponto mais o fluxo de massa que sai/entra por unidade de volume é zero — é a conservação local de massa.
Forma approximada usada em oceanografia — Boussinesq/incompressível (muito comum):
  • Para a maior parte dos problemas oceânicos, variações de densidade são pequenas comparadas a um valor de referência \rho_0. Isso permite aproximar \rho como constante exceto no termo de empuxo (boiancy). Então a continuidade reduz-se a:
\nabla\cdot\mathbf{u} = 0.
Interpretação: fluxo volumétrico conservado (não há compressão significativa do volume de água). Isso facilita muito os cálculos e é adequado se não nos interessam ondas sonoras ou compressibilidade.
Observação sobre superfície livre: quando se considera superfície livre (nível do mar variável \eta(x,y,t)), a conservação de massa também aparece como condição cinemática da superfície:
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \nabla_h\cdot\int_{-H}^{\eta}\mathbf{u}_h\,dz = \text{fluxos de água (precipitação/evaporação/remoção)},áçãçãçã
onde \nabla_h e \mathbf{u}_h=(u,v) são os operadores/hidrocomponentes horizontais, e H é profundidade de referência.

Passo 3

Equações de conservação de quantidade de movimento — forma geral e aproximações úteis.
Equação de Navier–Stokes em referência rotante (forma vetorial):
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} + 2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{g} + \frac{1}{\rho}\nabla\cdot\boldsymbol{\tau} + \mathbf{F}_{\text{ext}},
onde:
  • \mathbf{\Omega} é o vetor de rotação da Terra; o termo 2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{u} é a força de Coriolis,
  • p é a pressão absoluta,
  • \mathbf{g} = -g\hat{\mathbf{z}} é a gravidade (com g>0 e \hat{\mathbf{z}} apontando para cima),
  • \boldsymbol{\tau} é o tensor de tensões viscosas (descreve viscous e tensões turbulentas),
  • \mathbf{F}_{\text{ext}} representa forças externas como esforço do vento na superfície, atrito no fundo, marés externas etc.
Explicação passo a passo:
  • O termo convectivo (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} descreve aceleração quando um fluido movendo carrega sua própria velocidade (advecção).
  • O termo de Coriolis muda a direção do movimento por causa da rotação terrestre; ele é crucial em escalas oceânicas.
  • O gradiente de pressão -\nabla p/\rho acelera o fluido de regiões de alta para baixa pressão.
  • As tensões \boldsymbol{\tau} contêm a viscosidade molecular e, mais importante em oceanografia, contribuições de turbulência (Reynolds stresses) que necessitam de fechamento.
Hydrostatic approximation (muito usada em modelos oceânicos de larga escala):
  • Em oceanos a razão entre escalas horizontais e verticais é grande; a aceleração vertical local é pequena comparada ao balanço entre pressão vertical e peso do fluido. Assim a componente vertical da equação de momento reduz-se a:
\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g.
Isso significa que a pressão em um ponto é basicamente a pressão hidrostática devido à coluna de água acima. Explico: ao invés de resolver a equação vertical dinâmica completa (com \partial w/\partial t etc.), assume-se que a pressão vertical se ajusta instantaneamente ao peso da água.
Quando NÃO usar hydrostatic: em fenômenos de pequena escala vertical (ruptura de ondas internas, convecção violenta, tsunamis próximos), termos não-hidrostáticos podem ser importantes.

Passo 4

Equações de conservação de energia / traçadores — temperatura e salinidade (advecção-difusão).
Temperatura (ou energia térmica) e salinidade satisfazem equações de transporte do tipo advecção-difusão:
\frac{\partial T}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla T = \nabla\cdot(K_T \nabla T) + Q_T,
\frac{\partial S}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla S = \nabla\cdot(K_S \nabla S) + Q_S,
onde:
  • T(\mathbf{x},t) é a temperatura (pode ser temperatura conservativa ou potencial dependendo do contexto),
  • S(\mathbf{x},t) é a salinidade (practical salinity),
  • K_T e K_S são coeficientes de difusão (podem ser escalares ou tensores, e frequentemente dependem da profundidade e do regime turbulento),
  • Q_T e Q_S representam fontes/sumidouros (fluxos de calor na superfície, troca com o fundo, processos bio-geofísicos, precipitação/evaporação que alteram salinidade etc.),
  • \mathbf{u}\cdot\nabla é a advecção pelo campo de velocidade.
Didaticamente: essas equações dizem que a variação de T e S em um ponto vem da mistura pelo movimento do fluido (advecção), difusão (mistura turbulenta e molecular) e fontes externas.
Observações práticas:
  • Em modelos, muitas vezes usa-se a temperatura conservativa ou potencial para evitar problemas com compressibilidade.
  • Coeficientes K são em grande parte parametrizações de mistura turbulenta (fechamento — veremos isso abaixo).

Passo 5

Equação de estado e definição de buoyancy (o “fechamento” termodinâmico essencial).
A densidade do mar não é uma variável independente; ela depende de T, S e pressão p:
\rho = \rho(T,S,p).
Explicação: temperatura e salinidade determinam a densidade local da água e, portanto, o empuxo (força de flutuabilidade). Na prática oceânica moderna utiliza-se a formulação TEOS-10, mas para entendimento básico é suficiente a forma linearizada:
Linearização comum (útil para cálculos rápidos):
\rho \approx \rho_0\left[1 - \alpha\,(T - T_0) + \beta\,(S - S_0) \right],
onde:
  • \rho_0 é uma densidade de referência,
  • \alpha é o coeficiente de expansividade térmica (positivo: aumenta T reduz \rho),
  • \beta é o coeficiente halino (positivo: aumenta S aumenta \rho),
  • T_0,S_0 são valores de referência.
A buoyancy (flutuabilidade) é então definida como:
b = -\frac{g(\rho - \rho_0)}{\rho_0}\approx g\,[\alpha (T-T_0) - \beta (S-S_0)].
Uso prático: em Boussinesq, a densidade aparece apenas no termo de flutuabilidade b. Em resumo, a equação de estado é a relação termodinâmica que “fecha” os traçadores (T,S) com a dinâmica (ρ → p, força de gravidade).

Passo 6

Contagem de incógnitas e equações (por que precisamos de fechamentos adicionais).
Variáveis incógnitas principais que devemos determinar no domínio:
  • Velocidade: \mathbf{u}=(u,v,w) — três incógnitas.
  • Pressão: p — uma incógnita (ou superfície de pressão, ou pressão dinâmica).
  • Temperatura: T.
  • Salinidade: S.
  • (Se considerar superfície livre) Cota da superfície: \eta(x,y,t).
  • A densidade \rho é tratada como função de T,S,p via equação de estado (não independente se usamos equação de estado explícita).
Equações disponíveis (modelo pleno, sem aproximações):
  • 3 equações de momento (componentes x,y,z).
  • 1 equação de continuidade (massa).
  • 1 equação para T (traçador).
  • 1 equação para S (traçador).
    Total: 6 equações para 6 incógnitas (u,v,w,p,T,S) — em princípio fechado. Porém, na prática aparecem problemas de fechamento porque:
  • Tensões e fluxos turbulentos \boldsymbol{\tau} e termos de difusão (K_T,K_S) não são conhecidos: surgem dos efeitos de escalas menores do que a grade (subgrid-scale). Esses termos precisam de parametrização (modelo turbulento).
  • A relação \rho(T,S,p) deve ser especificada (equação de estado).
  • Condições de contorno (superfície livre, vento, fluxos de calor, fluxos de água, atrito do fundo) precisam ser prescritas.
  • Se usarmos a aproximação hydrostatic/Boussinesq, a natureza das incógnitas e equações muda ligeiramente: vertical momentum troca-se pela hidrostática e a equação de continuidade torna-se divergência nula, mas a necessidade de parametrização turbulenta permanece.

Passo 7

Exemplos de relações de fechamento necessárias — explicação didática de cada uma.
  1. Equação de estado:
\rho = \rho(T,S,p).
Por que necessária: sem ela não sabemos como T e S alteram a densidade e, portanto, a flutuabilidade e o gradiente de pressão.
  1. Parametrizações de mistura turbulenta (fechamento de subescala):
  • Para a tensão/decorrelação das velocidades (Reynolds stresses) costuma-se usar um modelo do tipo viscosidade turbulenta:
\tau_{ij} \approx \rho_0 \nu_t\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right),
onde \nu_t é a viscosidade turbulenta (viscosidade eddy). Similarmente para os fluxos de traçadores:
\overline{u' T'} \approx -K_T \frac{\partial \overline{T}}{\partial x},
\overline{u' S'} \approx -K_S \frac{\partial \overline{S}}{\partial x}.
Esses K_T,K_S,\nu_t são modelos — podem ser constantes, funções da profundidade (perfil K), ou modelos mais sofisticados (k–ε, k–ω, Smagorinsky, Mellor–Yamada, etc.). Explicação: os parênteses com primes indicam flutuações turbulentas; precisamos relacioná-las com médias para fechar as equações médias.
  1. Hydrostatic closure (quando aplicada):
\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g,
permite calcular p a partir de \rho (e portanto de T,S) sem resolver a equação vertical de momento completa. É uma espécie de “fechamento” físico quando válido.
  1. Condições de contorno na superfície e fundo:
  • Superfície: troca de momento (tensão do vento \boldsymbol{\tau}_{\text{wind}}), fluxo de calor (conduz à Q_T), fluxo de água doce (precipitação/evaporação altera S). São entradas que devem ser fornecidas por dados meteorológicos ou modelos.
  • Fundo: atrito de fundo e rouguesa parametrizada dão termos de dissipação.
  1. Parâmetros termodinâmicos:
  • Coeficientes \alpha(T,S,p) e \beta(T,S,p) quando linearizamos a equação de estado; ou a tabela/algoritmo TEOS-10 para densidade completa.
Resumo didático: sem definir a equação de estado e como representar efeitos turbulentos/subescala (viscosidade e difusividade turbulentas) e sem dar condições de contorno, não se pode resolver as equações de conservação apesar de elas estarem “em número igual às incógnitas”.

Passo 8

Como isso é aplicado na prática (passos de solução em um modelo oceânico simples) — para você visualizar na prova.
  1. Dados iniciais: T(\mathbf{x},0), S(\mathbf{x},0), \mathbf{u}(\mathbf{x},0), e \eta(\mathbf{x},0) se for superfície livre.
  2. Calcule a densidade \rho=\rho(T,S,p) usando a equação de estado (ou sua linearização).
  3. Se usar hydrostatic: calcule p(z) integrando \partial p/\partial z = -\rho g (com condição de pressão na superfície).
  4. Atualize velocidade \mathbf{u} resolvendo as equações de momento (inclua Coriolis, gradiente de pressão, forças de fricção/viscosidade, esforços do vento). Aqui entram os parâmetros \nu_t, K_T, K_S.
  5. Atualize T e S pelas equações de advecção-difusão (usar \mathbf{u} novo e os coeficientes turbulentos). Inclua fluxos de superfície Q_T,Q_S.
  6. Repetir no tempo — cada passo exige a equação de estado e parametrização de mistura para manter o sistema fechado.
Dica de prova: indique claramente quais aproximações você assume (Boussinesq, hydrostatic) e escreva explicitamente quais termos você está parametrizando (ex.: "usarei \tau_{ij} = \rho_0 \nu_t(\partial_i u_j + \partial_j u_i) e \overline{u' T'} = -K_T \partial_x T").

Passo 9

Principais limitações e comentários finais para fixar:
  • Boussinesq facilita muito, pois reduz massa à \nabla\cdot\mathbf{u}=0 e coloca densidade apenas no termo de flutuabilidade. É a aproximação padrão em dinâmica oceânica de larga escala.
  • Hydrostatic é excelente quando razões horizontais/verticais são grandes. Para fenômenos de pequena escala vertical use formulários não-hidrostáticos.
  • O “verdadeiro” fechamento vem de turbulência e trocas com a atmosfera/solo: sem modelos para isso, teríamos equações abertas. Em prova, descreva as parametrizações que escolher e justifique por que são aceitáveis para a escala do problema.
  • A equação de estado da água do mar (TEOS-10) é a relação física que liga T,S,p a \rho — cite-a quando precisar justificar o fechamento termodinâmico.

Resposta

(a) Equações: \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0 (continuidade, ou \nabla\cdot\mathbf{u}=0 em Boussinesq); \displaystyle \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}+2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{u}=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\mathbf{g}+\frac{1}{\rho}\nabla\cdot\boldsymbol{\tau}+\mathbf{F}_{\text{ext}} (momento, Navier–Stokes rotante; hidrostaticamente \partial p/\partial z=-\rho g); \displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla T=\nabla\cdot(K_T\nabla T)+Q_T e \displaystyle \frac{\partial S}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla S=\nabla\cdot(K_S\nabla S)+Q_S (traçadores/energia).
(b) Variáveis envolvidas: velocidade \mathbf{u}=(u,v,w); densidade \rho; pressão p; temperatura T (ou temperatura potencial/conservativa); salinidade S; gravidade g; parâmetros de rotação \mathbf{\Omega} (Coriolis); tensões/viscosidades \boldsymbol{\tau}, coeficientes de difusão K_T,K_S; superfície livre \eta quando aplicável; fontes/sumidouros Q_T,Q_S; forças externas (vento, atrito de fundo) \mathbf{F}_{\text{ext}}.
(c) Incógnitas e fechamentos necessários: incógnitas principais \mathbf{u},p,T,S (e \eta se superfície livre); fechamento necessário com (i) equação de estado \rho=\rho(T,S,p) (p.ex. TEOS-10 ou linearizada \rho\approx\rho_0[1-\alpha(T-T_0)+\beta(S-S_0)]) para ligar traçadores à densidade/empuxo; (ii) parametrizações de mistura/turbulência (viscosidade/eddy-viscosity \nu_t, difusividades K_T,K_S, modelos k–ε, Smagorinsky, K-profile, etc.) para fechar tensões e fluxos subescala; (iii) condições de contorno e fluxos de superfície (vento, calor, precip./evap.) e atrito de fundo; (iv) se usado, hipótese hidrostática \partial p/\partial z=-\rho g reduz a incógnita vertical dinâmica. Sem essas relações de fechamento o sistema não fica determinado na prática.

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