Ex.3:Adotando valores característicos:
a)Considerando fenômenos de grande escala,com as seguintes escalas características:
,determine apenas a ordem de grandeza da velocidade vertical( W )para o movimento de grande escala.
b)Agora,considere um fenômeno de menor escala,com as seguintes escalas caracterís- ticas:
(referente à profundidade característica da camada de mistura),e velocidade
,determine a ordem de grandeza da velocidade vertical( W )para esta nova escala de movimento.
c)Compare e interprete os resultados obtidos nos itens anteriores.
a)Considerando fenômenos de grande escala,com as seguintes escalas características:
b)Agora,considere um fenômeno de menor escala,com as seguintes escalas caracterís- ticas:
c)Compare e interprete os resultados obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
O enunciado pede que eu estime apenas a ordem de grandeza da velocidade vertical
em dois casos (a) e (b), e depois compare e interprete os resultados (c).
Dados fornecidos:
- Caso (a) (fenômeno de grande escala):
Pergunta: determinar a ordem de grandeza de . - Caso (b) (fenômeno de menor escala):
Pergunta: determinar a ordem de grandeza de . - Caso (c): comparar e interpretar os resultados obtidos em (a) e (b).
Passo 2
Princípio usado (explicação didática): para um fluido praticamente incompressível, a equação de continuidade em escala integral diz que a soma das variações espaciais das componentes de velocidade é nula. Em escala de ordem de grandeza, isso se resume à comparação das escalas características das derivadas:
Como essas contribuições devem se equilibrar (ou pelo menos ter a mesma ordem), obtemos a escala aproximada
Isolando
temos a fórmula de estimativa que usaremos:
Aqui eu explico cada símbolo:
-
é a velocidade horizontal característica (m/s), -
é a escala horizontal característica (m), -
é a escala vertical característica (m), -
é a velocidade vertical característica (m/s).
Essa aproximação é muito usada em geofísica e dinâmica de fluidos para ter uma noção rápida das magnitudes: se
é muito menor que
,
tende a ser muito menor que
.
Passo 3
Cálculo para o caso (a). Primeiro simplifico
:
Agora aplico a fórmula
:
Faço a conta passo a passo:
Multiplicando por
:
Arredondando para duas cifras significativas e expressando a ordem:
ou seja, ordem de grandeza
(milésimos de m/s, alguns mm/s).
Passo 4
Cálculo para o caso (b). Novamente
. Uso
Calculo:
Portanto
Expressando em notação de ordem de grandeza:
ou seja, ordem de grandeza
(décimos de m/s).
Passo 5
Comparação numérica e interpretação física:
- Números encontrados:
- Razão entre as velocidades:
Ou seja, a velocidade vertical no fenômeno de menor escala é da ordem de 50 vezes maior que na grande escala (aproximadamente 1–2 ordens de grandeza maior). Em termos de ordens, é típico dizer que passamos de para : diferença de cerca de na ordem de grandeza. - Interpretação física intuitiva (didática e leve):
- Em movimentos de grande escala (ex.: circulação atmosférica planetária ou correntes oceânicas amplas) a extensão horizontal
é enorme em relação à profundidade/espessura . A massa de fluido praticamente se move horizontalmente, então as velocidades verticais necessárias para satisfazer a continuidade são muito pequenas — da ordem de milímetros por segundo. - Em movimentos menores (ex.: mistura na camada limite, convecção local),
é relativamente maior em relação a , então a componente vertical pode ser bem maior — da ordem de décimos de m/s — e a mistura vertical ocorre muito mais rapidamente.
- Em movimentos de grande escala (ex.: circulação atmosférica planetária ou correntes oceânicas amplas) a extensão horizontal
- Exemplo prático de escala temporal (intuição extra): tempo típico para deslocar verticalmente uma altura
é . - Para (a):
. - Para (b):
.
Isso mostra dramaticamente que processos verticais em pequena escala misturam a coluna muito mais rápido do que processos grandessíssimos.
- Para (a):
Resposta
(a)
(ordem
).
(b) (ordem
).
(c) A velocidade vertical no caso de menor escala é cerca de vezes maior (aprox. 1–2 ordens de grandeza) do que no caso de grande escala; isto ocorre porque
e o rácio
é muito maior na pequena escala, tornando os movimentos verticais muito mais relevantes e rápidos.
(b)
(c) A velocidade vertical no caso de menor escala é cerca de