Ex.3:Adotando valores característicos:
a)Considerando fenômenos de grande escala,com as seguintes escalas características: L=5,5 \times 10^{6} \mathrm{~m}, H=3,5 \times 10^{3} \mathrm{~m}, U=0,6 \times 10^{1} \mathrm{~m} / \mathrm{s} ,determine apenas a ordem de grandeza da velocidade vertical( W )para o movimento de grande escala.
b)Agora,considere um fenômeno de menor escala,com as seguintes escalas caracterís- ticas: L=3000 m, H=100 m(referente à profundidade característica da camada de mistura),e velocidade U=0,6 \times 10^{1} \mathrm{~m} / \mathrm{s} ,determine a ordem de grandeza da velocidade vertical( W )para esta nova escala de movimento.
c)Compare e interprete os resultados obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime apenas a ordem de grandeza da velocidade vertical W em dois casos (a) e (b), e depois compare e interprete os resultados (c).
Dados fornecidos:
  • Caso (a) (fenômeno de grande escala): L = 5,5\times 10^{6}\\ \mathrm{m},\quad H = 3,5\times 10^{3}\\ \mathrm{m},\quad U = 0,6\times 10^{1}\\ \mathrm{m/s}.Pergunta: determinar a ordem de grandeza de W.
  • Caso (b) (fenômeno de menor escala): L = 3000\\ \mathrm{m},\quad H = 100\\ \mathrm{m},\quad U = 0,6\times 10^{1}\\ \mathrm{m/s}.Pergunta: determinar a ordem de grandeza de W.
  • Caso (c): comparar e interpretar os resultados obtidos em (a) e (b).

Passo 2

Princípio usado (explicação didática): para um fluido praticamente incompressível, a equação de continuidade em escala integral diz que a soma das variações espaciais das componentes de velocidade é nula. Em escala de ordem de grandeza, isso se resume à comparação das escalas características das derivadas:
\frac{\partial u}{\partial x}\sim\frac{U}{L},\qquad \frac{\partial w}{\partial z}\sim\frac{W}{H}.
Como essas contribuições devem se equilibrar (ou pelo menos ter a mesma ordem), obtemos a escala aproximada
\frac{U}{L}\sim\frac{W}{H}.
Isolando W temos a fórmula de estimativa que usaremos:
W\sim U\frac{H}{L}.
Aqui eu explico cada símbolo:
  • U é a velocidade horizontal característica (m/s),
  • L é a escala horizontal característica (m),
  • H é a escala vertical característica (m),
  • W é a velocidade vertical característica (m/s).
Essa aproximação é muito usada em geofísica e dinâmica de fluidos para ter uma noção rápida das magnitudes: se H é muito menor que L, W tende a ser muito menor que U.

Passo 3

Cálculo para o caso (a). Primeiro simplifico U:
U = 0,6\times10^{1}\\ \mathrm{m/s} = 6\\ \mathrm{m/s}.
Agora aplico a fórmula W\sim U\frac{H}{L}:
W \sim 6\cdot\frac{3,5\times10^{3}}{5,5\times10^{6}}\\ \mathrm{m/s}.
Faço a conta passo a passo:
\frac{3,5\times10^{3}}{5,5\times10^{6}}=\frac{3,5}{5,5}\times10^{3-6}=\frac{3,5}{5,5}\times10^{-3}\approx0,63636\times10^{-3}.
Multiplicando por 6:
W \sim 6\times0,63636\times10^{-3}\approx3,8182\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para duas cifras significativas e expressando a ordem:
W\\ (\text{caso (a)})\approx3,8\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s},
ou seja, ordem de grandeza \mathbf{10^{-3}\\ \mathrm{m/s}} (milésimos de m/s, alguns mm/s).

Passo 4

Cálculo para o caso (b). Novamente U=6\\ \mathrm{m/s}. Uso
W\sim U\frac{H}{L}=6\cdot\frac{100}{3000}\\ \mathrm{m/s}.
Calculo:
\frac{100}{3000}=\frac{1}{30}\approx0,033333\ldots
Portanto
W\sim6\times0,033333\ldots=0,2\\ \mathrm{m/s}.
Expressando em notação de ordem de grandeza:
W\\ (\text{caso (b)})\approx2,0\times10^{-1}\\ \mathrm{m/s},
ou seja, ordem de grandeza \mathbf{10^{-1}\\ \mathrm{m/s}} (décimos de m/s).

Passo 5

Comparação numérica e interpretação física:
  • Números encontrados: W_{a}\approx3,8\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s},\qquad W_{b}\approx2,0\times10^{-1}\\ \mathrm{m/s}.
  • Razão entre as velocidades: \frac{W_{b}}{W_{a}}\approx\frac{2,0\times10^{-1}}{3,8\times10^{-3}}\approx52.Ou seja, a velocidade vertical no fenômeno de menor escala é da ordem de 50 vezes maior que na grande escala (aproximadamente 1–2 ordens de grandeza maior). Em termos de ordens, é típico dizer que passamos de 10^{-3}\\ \mathrm{m/s} para 10^{-1}\\ \mathrm{m/s}: diferença de cerca de 10^{2} na ordem de grandeza.
  • Interpretação física intuitiva (didática e leve):
    • Em movimentos de grande escala (ex.: circulação atmosférica planetária ou correntes oceânicas amplas) a extensão horizontal L é enorme em relação à profundidade/espessura H. A massa de fluido praticamente se move horizontalmente, então as velocidades verticais necessárias para satisfazer a continuidade são muito pequenas — da ordem de milímetros por segundo.
    • Em movimentos menores (ex.: mistura na camada limite, convecção local), H é relativamente maior em relação a L, então a componente vertical pode ser bem maior — da ordem de décimos de m/s — e a mistura vertical ocorre muito mais rapidamente.
  • Exemplo prático de escala temporal (intuição extra): tempo típico para deslocar verticalmente uma altura H é t\sim H/W.
    • Para (a): t\sim\frac{3,5\times10^{3}}{3,8\times10^{-3}}\\ \mathrm{s}\approx9,2\times10^{5}\\ \mathrm{s}\approx10{,}6\\ \text{dias}.
    • Para (b): t\sim\frac{100}{0,2}\\ \mathrm{s}=500\\ \mathrm{s}\approx8{,}3\\ \text{minutos}.
      Isso mostra dramaticamente que processos verticais em pequena escala misturam a coluna muito mais rápido do que processos grandessíssimos.

Resposta

(a) W\approx3,8\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s} (ordem 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}).
(b) W\approx2,0\times10^{-1}\\ \mathrm{m/s} (ordem 10^{-1}\\ \mathrm{m/s}).
(c) A velocidade vertical no caso de menor escala é cerca de 50 vezes maior (aprox. 1–2 ordens de grandeza) do que no caso de grande escala; isto ocorre porque W\sim U(H/L) e o rácio H/L é muito maior na pequena escala, tornando os movimentos verticais muito mais relevantes e rápidos.

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