Ex.2:Partindo da equação de conservação de massa(Eq.1),determine:
a)Assuma um oceano incompressível e obtenha a equação da continuidade(mostrar passo a passo).
b)Sejam
e
as escalas horizontais e verticais características,respectivamente,e
a escala de velocidade horizontal característica.Defina a razão de aspecto
. Usando as escalas características descritas,adimensionalize a equação de continuidade e derive a relação de ordem de grandeza entre
e
(escala vertical característica).
a)Assuma um oceano incompressível e obtenha a equação da continuidade(mostrar passo a passo).
b)Sejam
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Partindo da equação de conservação de massa (que chamamos de Eq.,1), assumir um oceano incompressível e obter a equação da continuidade — ou seja, mostrar passo a passo como da Eq.,1 se chega em
(e sua forma em derivadas parciais). - (b) Com escalas características horizontais
e verticais , velocidade horizontal característica , e velocidade vertical característica , definir a razão de aspecto , adimensionalizar a equação de continuidade usando essas escalas e, a partir disso, derivar a relação de ordem de grandeza entre e .
Informações dadas e que vou usar:
- A Eq.,1 é a equação de conservação de massa na forma local:
onde
é a densidade e
é o vetor velocidade.
- Assumiremos “oceano incompressível” no item (a) (ou seja, densidade constante espacialmente e no tempo, conforme definição que vamos explicar).
- Escalas características: horizontais
, verticais , velocidade horizontal , velocidade vertical . Definimos .
Passo 2
Vamos começar escrevendo a Eq.,1 e manipulando-a algebricamente. A equação de conservação de massa, escrita localmente, é
Explico os termos:
-
é a taxa de variação temporal local da densidade. -
é a divergência do fluxo de massa; ele combina variações espaciais da densidade e da velocidade.
Uma identidade vetorial útil (produto escalar e divergência) é
Vou usar essa identidade para reescrever a Eq.,1.
Passo 3
Substituindo a identidade na Eq.,1 temos
Agora escrevo os dois termos com derivadas temporais e convectivas juntos: a derivada material (ou substancial) de
é
Portanto a equação fica
Passo 4
Agora imponho a condição de oceano incompressível. Existem duas maneiras equivalentes de dizer isso; vou usar a hipótese usada comumente em oceanografia e dinâmica de fluidos:
- “Incompressível” aqui significa que a densidade de referência
é constante ao longo de uma partícula de fluido. Em particular, para um fluido estritamente incompressível é constante no espaço e no tempo, então e também .
Aplicandona equação do passo anterior obtemos
Como
é um valor positivo e constante (não é zero), podemos dividir por
e achar
Esta é a equação da continuidade para um fluido incompressível: o campo velocidade é divergente nulo.
Passo 5
Para ficar bem explícito — e útil na prova — escrevemos a condição de divergência nula em coordenadas cartesianas
com
:
Interpretação prática: a soma das taxas de alongamento/compressão nas três direções é zero; para cada compressão em
examina-se uma expansão em
etc. Num oceano com escala vertical muito menor que a horizontal, isso nos dá que
é tipicamente muito menor que
e
— vamos quantificar isso agora por escalação.
Passo 6
Partimos da forma diferenciada da continuidade para incompressível,
e introduzimos as escalas características:
-
variam em escala (horizontais), -
varia em escala (vertical), -
variam em amplitude típica , -
varia em amplitude típica .
Defino variáveis adimensionais (uso apóstrofo para não confundir):
Observação: escolhi usar
como escala tanto para
quanto para
porque são velocidades horizontais típicas da mesma ordem.
Passo 7
Agora escrevo as derivadas em termos das coordenadas adimensionais. Por exemplo,
Substituo as escalas e as derivadas na equação da continuidade. O primeiro termo é da ordem
o segundo termo é similar,
e o terceiro termo é
Portanto, a equação adimensionalizada por ordens de grandeza fica
Passo 8
Divido toda a equação por
(que é a escala típica do primeiro e segundo termos) para comparar coeficientes:
Note que
por definição de
. Substituindo isso:
Passo 9
Para que todos os termos adimensionais tenham a mesma ordem de grandeza (isto é, para que a equação não tenha um termo dominantemente muito maior que os outros — e, nesse sentido, para que a versão adimensional faça sentido por ordens de grandeza), o coeficiente multiplicativo do termo vertical deve ser da ordem da unidade. Assim exigimos, por estimação de ordem de grandeza,
Isolando
obtemos a relação de escalas desejada:
Isto significa que a velocidade vertical típica é menor que a horizontal por um fator da razão de aspecto
. Em oceanos e atmosferas rasas
, então
é muito menor que
.
Passo 10
Interpretação física e exemplo numérico rápido (para te dar intuição): se
e
, então
. Se
(correntes horizontais), então
, ou seja, velocidade vertical muito menor. Isso explica por que vertical motion em oceanos é tipicamente lenta comparada à horizontal.