Ex.2:Partindo da equação de conservação de massa(Eq.1),determine:
a)Assuma um oceano incompressível e obtenha a equação da continuidade(mostrar passo a passo).
b)Sejam L e H as escalas horizontais e verticais características,respectivamente,e U a escala de velocidade horizontal característica.Defina a razão de aspecto \delta=H / L . Usando as escalas características descritas,adimensionalize a equação de continuidade e derive a relação de ordem de grandeza entre U e W(escala vertical característica).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. (a) Partindo da equação de conservação de massa (que chamamos de Eq.,1), assumir um oceano incompressível e obter a equação da continuidade — ou seja, mostrar passo a passo como da Eq.,1 se chega em \nabla\cdot\mathbf{u}=0 (e sua forma em derivadas parciais).
  2. (b) Com escalas características horizontais L e verticais H, velocidade horizontal característica U, e velocidade vertical característica W, definir a razão de aspecto \delta=H/L, adimensionalizar a equação de continuidade usando essas escalas e, a partir disso, derivar a relação de ordem de grandeza entre U e W.
Informações dadas e que vou usar:
  • A Eq.,1 é a equação de conservação de massa na forma local:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) = 0,
onde \rho é a densidade e \mathbf{u}=(u,v,w) é o vetor velocidade.
  • Assumiremos “oceano incompressível” no item (a) (ou seja, densidade constante espacialmente e no tempo, conforme definição que vamos explicar).
  • Escalas características: horizontais L, verticais H, velocidade horizontal U, velocidade vertical W. Definimos \delta = H/L.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a Eq.,1 e manipulando-a algebricamente. A equação de conservação de massa, escrita localmente, é
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) = 0.
Explico os termos:
  • \frac{\partial \rho}{\partial t} é a taxa de variação temporal local da densidade.
  • \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) é a divergência do fluxo de massa; ele combina variações espaciais da densidade e da velocidade.
Uma identidade vetorial útil (produto escalar e divergência) é
\displaystyle \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) = \rho\,\nabla\cdot\mathbf{u} + \mathbf{u}\cdot\nabla\rho.
Vou usar essa identidade para reescrever a Eq.,1.

Passo 3

Substituindo a identidade na Eq.,1 temos
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\,\nabla\cdot\mathbf{u} + \mathbf{u}\cdot\nabla\rho = 0.
Agora escrevo os dois termos com derivadas temporais e convectivas juntos: a derivada material (ou substancial) de \rho é
\frac{D\rho}{Dt} \equiv \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla\rho.
Portanto a equação fica
\frac{D\rho}{Dt} + \rho\,\nabla\cdot\mathbf{u} = 0.

Passo 4

Agora imponho a condição de oceano incompressível. Existem duas maneiras equivalentes de dizer isso; vou usar a hipótese usada comumente em oceanografia e dinâmica de fluidos:
  • “Incompressível” aqui significa que a densidade de referência \rho é constante ao longo de uma partícula de fluido. Em particular, para um fluido estritamente incompressível \rho é constante no espaço e no tempo, então \frac{D\rho}{Dt}=0 e também \nabla\rho=0.
    Aplicando \frac{D\rho}{Dt}=0 na equação do passo anterior obtemos
0 + \rho\,\nabla\cdot\mathbf{u} = 0.
Como \rho é um valor positivo e constante (não é zero), podemos dividir por \rho e achar
\nabla\cdot\mathbf{u} = 0.
Esta é a equação da continuidade para um fluido incompressível: o campo velocidade é divergente nulo.

Passo 5

Para ficar bem explícito — e útil na prova — escrevemos a condição de divergência nula em coordenadas cartesianas (x,y,z) com \mathbf{u}=(u,v,w):
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0.
Interpretação prática: a soma das taxas de alongamento/compressão nas três direções é zero; para cada compressão em x examina-se uma expansão em z etc. Num oceano com escala vertical muito menor que a horizontal, isso nos dá que w é tipicamente muito menor que u e v — vamos quantificar isso agora por escalação.

Passo 6

Partimos da forma diferenciada da continuidade para incompressível,
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0,
e introduzimos as escalas características:
  • x,y variam em escala \;L\; (horizontais),
  • z varia em escala \;H\; (vertical),
  • u,v variam em amplitude típica \;U\;,
  • w varia em amplitude típica \;W\;.
Defino variáveis adimensionais (uso apóstrofo para não confundir):
x'=\frac{x}{L},\quad y'=\frac{y}{L},\quad z'=\frac{z}{H},
u'=\frac{u}{U},\quad v'=\frac{v}{U},\quad w'=\frac{w}{W}.
Observação: escolhi usar U como escala tanto para u quanto para v porque são velocidades horizontais típicas da mesma ordem.

Passo 7

Agora escrevo as derivadas em termos das coordenadas adimensionais. Por exemplo,
\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial x'}{\partial x}\,\frac{\partial}{\partial x'} = \frac{1}{L}\frac{\partial}{\partial x'}, \qquad \frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{H}\frac{\partial}{\partial z'}.
Substituo as escalas e as derivadas na equação da continuidade. O primeiro termo é da ordem
\frac{\partial u}{\partial x} \sim \frac{U}{L}\frac{\partial u'}{\partial x'},
o segundo termo é similar,
\frac{\partial v}{\partial y} \sim \frac{U}{L}\frac{\partial v'}{\partial y'},
e o terceiro termo é
\frac{\partial w}{\partial z} \sim \frac{W}{H}\frac{\partial w'}{\partial z'}.
Portanto, a equação adimensionalizada por ordens de grandeza fica
\frac{U}{L}\Big(\frac{\partial u'}{\partial x'}+\frac{\partial v'}{\partial y'}\Big) + \frac{W}{H}\frac{\partial w'}{\partial z'} = 0.

Passo 8

Divido toda a equação por U/L (que é a escala típica do primeiro e segundo termos) para comparar coeficientes:
\frac{\partial u'}{\partial x'}+\frac{\partial v'}{\partial y'} + \frac{W}{H}\frac{L}{U}\frac{\partial w'}{\partial z'} = 0.
Note que \frac{L}{H} = \frac{1}{\delta} por definição de \delta=\dfrac{H}{L}. Substituindo isso:
\frac{\partial u'}{\partial x'}+\frac{\partial v'}{\partial y'} + \frac{W}{U}\frac{1}{\delta}\frac{\partial w'}{\partial z'} = 0.

Passo 9

Para que todos os termos adimensionais tenham a mesma ordem de grandeza (isto é, para que a equação não tenha um termo dominantemente muito maior que os outros — e, nesse sentido, para que a versão adimensional faça sentido por ordens de grandeza), o coeficiente multiplicativo do termo vertical deve ser da ordem da unidade. Assim exigimos, por estimação de ordem de grandeza,
\frac{W}{U}\frac{1}{\delta} \sim 1.
Isolando W obtemos a relação de escalas desejada:
W \sim U\,\delta.
Isto significa que a velocidade vertical típica é menor que a horizontal por um fator da razão de aspecto \delta=H/L. Em oceanos e atmosferas rasas \delta\ll 1, então W é muito menor que U.

Passo 10

Interpretação física e exemplo numérico rápido (para te dar intuição): se L\sim 100\\ \text{km} e H\sim 1\\ \text{km}, então \delta=0{,}01. Se U\sim 0{,}1\\ \text{m/s} (correntes horizontais), então W\sim 0{,}1\cdot 0{,}01 = 10^{-3}\\ \text{m/s}, ou seja, velocidade vertical muito menor. Isso explica por que vertical motion em oceanos é tipicamente lenta comparada à horizontal.

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{u}=0 (ou, explicitamente, \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}+\dfrac{\partial w}{\partial z}=0).
W \sim U\,\delta

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