Ex. 9 A densidade conjunta de (X, Y) é
f(x, y)=c 4 x y, se 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1 0, caso contrário á
a) Encontre a densidade de Z=X+Y.
b) Encontre a densidade de W=X-Y.
c) Calcule a correlação entre Z e W. As variáveis W e Z são independentes?

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória bidimensional
e pede as densidades marginais de , além da correlação entre e e se elas são independentes. Vamos usar convolução para , transformação linear para , e a definição de correlação e independência.

Passo 2

Primeiro encontramos os marginais de e , pois serão úteis:
Note que , logo e são independentes. Calculamos também
e o mesmo vale para . Portanto

Passo 3

Para Z=X+Y, a densidade é a convolução
fZ(z)=integral-infty^inftyfX(x),fY(z-x),dx =integralmax(0,z-1)^min(1,z)4,x,(z-x),dx,
pois f(x,z-x)=4x(z-x) em [0,1]^2. Avaliando a integral peça a peça:
se 0<= z<=1,
fZ(z) =4integral0^z(xz-x^2),dx =4l[tfracz,x^22-tfracx^33r]0^z =tfrac23z^3
se 1<= z<=2,
fZ(z) =4integralz-1^1(xz-x^2),dx =4l[tfracz,x^22-tfracx^33r]x=z-1^1 =4z-tfrac23z^3-tfrac83
E fora de [0,2], fZ(z)=0.

Passo 4

Para W=X-Y, usamos a transformação w=x-y. A densidade é
fW(w) =integralx:0<= x<=1,;0<= x-w<=14,x,(x-w),dx =4integrala^b(x^2-wx),dx,
onde a=max(0,w) e b=min(1,1+w). Calculando para -1<= w<=0 e 0<= w<=1 e reunindo em termos de lvert wrvert, obtém-se
fW(w) =43-2lvert wrvert+23lvert wrvert^3, -1<= w<=1,
e fW(w)=0 fora desse intervalo.

Passo 5

Como , temos
e
Logo a correlação é

Passo 6

Apesar de rhoZ,W=0, Z e W não são independentes, pois a densidade conjunta
fZ,W(z,w) =12,fX!l(z+w2r),fY!l(z-w2r) =12l(tfracz+w2r)l(tfracz-w2r)
não se separa como produto de uma função só de z vezes outra só de w.

Resposta

a) fZ(z)= tfrac23z^3,&0<= z<=1, 4z-tfrac23z^3-tfrac83,&1<= z<=2, 0,&caso contrário, á
b) fW(w)= 43-2lvert wrvert+23lvert wrvert^3,&-1<= w<=1, 0,&caso contrário, á
c) rhoZ,W=0 e Z e W não são independentes.

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