Ex. 2 Para que
. Prove que:
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
sob a hipótese
. Informações dadas e objetos que aparecem:
-
e são eventos num espaço de probabilidade. -
é o complemento de (ou seja, os resultados em que não ocorre). - Está assumido que
, condição necessária para definir probabilidades condicionais relativas a . - Precisamos mostrar que a probabilidade de
condicionada a é igual a menos a probabilidade de condicionada a .
Passo 2
Definição-chave (vou explicar com calma): a probabilidade condicional de um evento
dado um evento
com
é
O raciocínio por trás: quando condicionamos em
, estamos “restringindo” o universo apenas às ocorrências de
; a probabilidade condicional mede a fração da probabilidade de
que corresponde a
também ocorrer. Aqui:
-
é a probabilidade de que ocorram simultaneamente e . -
é a probabilidade do evento condicionante.
Passo 3
Observe a relação entre
,
e
. Para qualquer resultado
em
vale: ou
ou
. Logo os dois conjuntos
são disjuntos (não têm elementos em comum) e sua união é exatamente
. Em símbolos:
e
Explicando devagar: toda vez que estamos em
, ou estamos também em
(caso em
) ou não estamos em
(caso em
). Não existe elemento que esteja ao mesmo tempo em
e em
, por definição de complemento.
Passo 4
Usando a propriedade de aditividade da probabilidade para eventos disjuntos, da igualdade acima obtemos
Essa propriedade vem dos axiomas: se
e
são disjuntos, então
. Aqui aplicamos isso com
e
.
Passo 5
Agora calculamos a probabilidade condicional de
dado
usando a definição e a igualdade do passo anterior:
Substituindo
(obtido no passo 4) obtemos
Agora separamos a fração:
e como
e
(pela definição do passo 2), conclui-se
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia (só para ver que funciona): considere um dado justo e tome
e
. Então
. Temos
. Assim
e
o que bate com a contagem direta dentro de
(há dois resultados pares que não são 6:
e
, de
possíveis).