Ex. 2 Para que \mathbb{P}[D]>0. Prove que:
(a) \mathbb{P}\left[A^{c} \mid D\right]=1-\mathbb{P}[A \mid D].

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\mathbb{P}\left[A^{c} \mid D\right]=1-\mathbb{P}[A \mid D],
sob a hipótese \mathbb{P}[D]>0. Informações dadas e objetos que aparecem:
  • A e D são eventos num espaço de probabilidade.
  • A^{c} é o complemento de A (ou seja, os resultados em que A não ocorre).
  • Está assumido que \mathbb{P}[D]>0, condição necessária para definir probabilidades condicionais relativas a D.
  • Precisamos mostrar que a probabilidade de A^{c} condicionada a D é igual a 1 menos a probabilidade de A condicionada a D.

Passo 2

Definição-chave (vou explicar com calma): a probabilidade condicional de um evento X dado um evento D com \mathbb{P}[D]>0 é
\mathbb{P}[X\mid D]=\frac{\mathbb{P}[X\cap D]}{\mathbb{P}[D]}.
O raciocínio por trás: quando condicionamos em D, estamos “restringindo” o universo apenas às ocorrências de D; a probabilidade condicional mede a fração da probabilidade de D que corresponde a X também ocorrer. Aqui:
  • \mathbb{P}[X\cap D] é a probabilidade de que ocorram simultaneamente X e D.
  • \mathbb{P}[D] é a probabilidade do evento condicionante.

Passo 3

Observe a relação entre A, A^{c} e D. Para qualquer resultado \omega em D vale: ou \omega\in A ou \omega\notin A. Logo os dois conjuntos
A\cap D\quad\text{e}\quad A^{c}\cap D
são disjuntos (não têm elementos em comum) e sua união é exatamente D. Em símbolos:
(A\cap D)\cap (A^{c}\cap D)=\varnothing
e
(A\cap D)\cup (A^{c}\cap D)=D.
Explicando devagar: toda vez que estamos em D, ou estamos também em A (caso em A\cap D) ou não estamos em A (caso em A^{c}\cap D). Não existe elemento que esteja ao mesmo tempo em A e em A^{c}, por definição de complemento.

Passo 4

Usando a propriedade de aditividade da probabilidade para eventos disjuntos, da igualdade acima obtemos
\mathbb{P}[D]=\mathbb{P}[A\cap D]+\mathbb{P}[A^{c}\cap D].
Essa propriedade vem dos axiomas: se E e F são disjuntos, então \mathbb{P}[E\cup F]=\mathbb{P}[E]+\mathbb{P}[F]. Aqui aplicamos isso com E=A\cap D e F=A^{c}\cap D.

Passo 5

Agora calculamos a probabilidade condicional de A^{c} dado D usando a definição e a igualdade do passo anterior:
\mathbb{P}\left[A^{c}\mid D\right]=\frac{\mathbb{P}[A^{c}\cap D]}{\mathbb{P}[D]}
Substituindo \mathbb{P}[A^{c}\cap D]=\mathbb{P}[D]-\mathbb{P}[A\cap D] (obtido no passo 4) obtemos
\mathbb{P}\left[A^{c}\mid D\right]=\frac{\mathbb{P}[D]-\mathbb{P}[A\cap D]}{\mathbb{P}[D]}.
Agora separamos a fração:
\mathbb{P}\left[A^{c}\mid D\right]=\frac{\mathbb{P}[D]}{\mathbb{P}[D]}-\frac{\mathbb{P}[A\cap D]}{\mathbb{P}[D]}
e como \dfrac{\mathbb{P}[D]}{\mathbb{P}[D]}=1 e \dfrac{\mathbb{P}[A\cap D]}{\mathbb{P}[D]}=\mathbb{P}[A\mid D] (pela definição do passo 2), conclui-se
\mathbb{P}\left[A^{c}\mid D\right]=1-\mathbb{P}[A\mid D].

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia (só para ver que funciona): considere um dado justo e tome D=\{\text{resultado é par}\}=\{2,4,6\}é e A=\{\text{resultado é }6\}é. Então \mathbb{P}[D]=\tfrac{1}{2}. Temos \mathbb{P}[A\cap D]=\mathbb{P}(\{6\})=\tfrac{1}{6}. Assim
\mathbb{P}[A\mid D]=\frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{3},
e
\mathbb{P}\left[A^{c}\mid D\right]=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3},
o que bate com a contagem direta dentro de D (há dois resultados pares que não são 6: 2 e 4, de 3 possíveis).

Resposta

\mathbb{P}\left[A^{c} \mid D\right]=1-\mathbb{P}[A \mid D]

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