Ex. 3 Suponha que uma carta seja selecionada de um baralho de 20 cartas que contém 10 cartas vermehhas numeradas de 1 a 10 e 10 cartas azuis numeradas de 1 a 10 . Seja
o evento de que uma carta com numero par e seja C o evento de que uma carta com número menor que 5 seja selecionada. Descreva o espaço amostral S e descreva cada um dos (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá um baralho com 20 cartas: 10 cartas vermelhas numeradas de 1 a 10 e 10 cartas azuis numeradas de 1 a 10. Diz que
é o evento “carta com número par” e que
é o evento “carta com número menor que 5”. O enunciado usa também um evento
nas perguntas, mas não o definiu explicitamente. Vou assumir que
é o evento “a carta é vermelha” — essa é a suposição mais natural neste tipo de exercício (poderia ser “azul”, mas escolho “vermelha” porque normalmente se usa uma cor para um dos eventos). Vou explicitar essa escolha e seguir com ela; se o seu professor tinha outra definição para
, os passos abaixo mostram como ajustar a conta facilmente.
Informações relevantes listadas:
Passo 2
Vou escrever o espaço amostral
de forma organizada. O espaço amostral é o conjunto de todas as cartas possíveis (cor + número). Uma notação clara é usar pares
, onde
e
. Assim:
Isto representa exatamente as 20 cartas:
e
.
Passo 3
Definir cada evento como subconjunto de
.
Evento
(número par): os números pares entre 1 e 10 são
. Como cor pode ser vermelha ou azul, temos
Há 10 elementos em
.
Passo 4
Evento
(assumido: carta vermelha): todas as 10 cartas vermelhas
Há 10 elementos em
.
Passo 5
Evento
(número menor que 5): números
de ambas as cores:
Há 8 elementos em
.
Passo 6
Rápida revisão dos operadores de conjuntos (útil para a prova):
- Interseção
= elementos que estão em e em ao mesmo tempo. - União
= elementos que estão em ou em (ou em ambos). - Complemento
= elementos de que não estão em .
Vou aplicar diretamente essas definições para calcular cada pedido.
Passo 7
Calcular
: elementos que são ao mesmo tempo par (
), vermelhos (
) e com número menor que 5 (
). Números menores que 5 e pares são
e
. Restrito às vermelhas isto dá:
Passo 8
Calcular
: elementos vermelhos (
) cujo número não é menor que 5, isto é, número
. Os números de 5 a 10 são
. Assim:
Passo 9
Calcular
: todos os elementos que são pares ou vermelhos ou com número menor que 5. Uma forma prática: toda carta vermelha já está no
(10 cartas). Para as cartas azuis, precisamos das azuis que são pares (
) ou têm número
(
). Números azuis que são pares ou
são
Logo a união é:
(Em palavras: todas as cartas vermelhas mais as cartas azuis com números
.)
Passo 10
Calcular
. Podemos usar distributividade:
.
-
= pares e vermelhas = . -
= pares e número = números de ambas as cores = .
Fazendo a união sem repetir elementos, obtemos
Passo 11
Calcular
: elementos que não são pares (ou seja, ímpares), que não são vermelhos (ou seja, são azuis) e que não têm número
(ou seja, número
). Juntando: cartas azuis, ímpares, com número em
mas ímpares dali são
. Portanto:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)