Ex. 3 Suponha que uma carta seja selecionada de um baralho de 20 cartas que contém 10 cartas vermehhas numeradas de 1 a 10 e 10 cartas azuis numeradas de 1 a 10 . Seja A o evento de que uma carta com numero par e seja C o evento de que uma carta com número menor que 5 seja selecionada. Descreva o espaço amostral S e descreva cada um dos (a) A \cap B \cap C
(b) B \cap C^{c}
(c) A \cup B \cup C
(d) A \cap(B \cup C)
(e) A^{c} \cap B^{c} \cap C^{c}

Passo 1

O enunciado dá um baralho com 20 cartas: 10 cartas vermelhas numeradas de 1 a 10 e 10 cartas azuis numeradas de 1 a 10. Diz que A é o evento “carta com número par” e que C é o evento “carta com número menor que 5”. O enunciado usa também um evento B nas perguntas, mas não o definiu explicitamente. Vou assumir que B é o evento “a carta é vermelha” — essa é a suposição mais natural neste tipo de exercício (poderia ser “azul”, mas escolho “vermelha” porque normalmente se usa uma cor para um dos eventos). Vou explicitar essa escolha e seguir com ela; se o seu professor tinha outra definição para B, os passos abaixo mostram como ajustar a conta facilmente.
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &\text{O baralho: 10 cartas vermelhas numeradas }1\text{ a }10\text{ e 10 cartas azuis numeradas }1\text{ a }10.}\\\ &\text{Evento }A:\\ \text{número par.}\\\ &\text{Evento }B:\\ \text{(assumo) a carta é vermelha.}\\\ &\text{Evento }C:\\ \text{número menor que }5\\ (\text{ou seja }1,2,3,4). \end{aligned}

Passo 2

Vou escrever o espaço amostral S de forma organizada. O espaço amostral é o conjunto de todas as cartas possíveis (cor + número). Uma notação clara é usar pares (\text{cor},n), onde \text{cor}\in\{\text{vermelha},\text{azul}\} e n\in\{1,\dots,10\}. Assim:
S=\{(\text{vermelha},n)\mid n=1,\dots,10\}\cup\{(\text{azul},n)\mid n=1,\dots,10\}.
Isto representa exatamente as 20 cartas: (\text{vermelha},1),(\text{vermelha},2),\dots,(\text{vermelha},10) e (\text{azul},1),\dots,(\text{azul},10).

Passo 3

Definir cada evento como subconjunto de S.
Evento A (número par): os números pares entre 1 e 10 são 2,4,6,8,10. Como cor pode ser vermelha ou azul, temos
A=\{(\text{vermelha},2),(\text{vermelha},4),(\text{vermelha},6),(\text{vermelha},8),(\text{vermelha},10),\\\ (\text{azul},2),(\text{azul},4),(\text{azul},6),(\text{azul},8),(\text{azul},10)\}.
Há 10 elementos em A.

Passo 4

Evento B (assumido: carta vermelha): todas as 10 cartas vermelhas
B=\{(\text{vermelha},n)\mid n=1,\dots,10\}.
Há 10 elementos em B.

Passo 5

Evento C (número menor que 5): números 1,2,3,4 de ambas as cores:
C=\{(\text{vermelha},1),(\text{vermelha},2),(\text{vermelha},3),(\text{vermelha},4),\\\ (\text{azul},1),(\text{azul},2),(\text{azul},3),(\text{azul},4)\}.
Há 8 elementos em C.

Passo 6

Rápida revisão dos operadores de conjuntos (útil para a prova):
  • Interseção X\cap Y = elementos que estão em X e em Y ao mesmo tempo.
  • União X\cup Y = elementos que estão em X ou em Y (ou em ambos).
  • Complemento X^{c} = elementos de S que não estão em X.
    Vou aplicar diretamente essas definições para calcular cada pedido.

Passo 7

Calcular A\cap B\cap C: elementos que são ao mesmo tempo par ( A), vermelhos ( B) e com número menor que 5 ( C). Números menores que 5 e pares são 2 e 4. Restrito às vermelhas isto dá:
A\cap B\cap C=\{(\text{vermelha},2),(\text{vermelha},4)\}.

Passo 8

Calcular B\cap C^{c}: elementos vermelhos ( B) cujo número não é menor que 5, isto é, número \geq 5. Os números de 5 a 10 são 5,6,7,8,9,10. Assim:
B\cap C^{c}=\{(\text{vermelha},5),(\text{vermelha},6),(\text{vermelha},7),(\text{vermelha},8),(\text{vermelha},9),(\text{vermelha},10)\}.

Passo 9

Calcular A\cup B\cup C: todos os elementos que são pares ou vermelhos ou com número menor que 5. Uma forma prática: toda carta vermelha já está no B (10 cartas). Para as cartas azuis, precisamos das azuis que são pares ( A) ou têm número <5 ( C). Números azuis que são pares ou <5 são
\{1,2,3,4\}\cup\{2,4,6,8,10\}=\{1,2,3,4,6,8,10\}.
Logo a união é:
A\cup B\cup C=\{(\text{vermelha},n)\mid n=1,\dots,10\}\cup\{(\text{azul},n)\mid n\in\{1,2,3,4,6,8,10\}\}.
(Em palavras: todas as cartas vermelhas mais as cartas azuis com números 1,2,3,4,6,8,10.)

Passo 10

Calcular A\cap(B\cup C). Podemos usar distributividade: A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C).
  • A\cap B = pares e vermelhas = \{(\text{vermelha},2),(\text{vermelha},4),(\text{vermelha},6),(\text{vermelha},8),(\text{vermelha},10)\}.
  • A\cap C = pares e número <5 = números 2,4 de ambas as cores = \{(\text{vermelha},2),(\text{vermelha},4),(\text{azul},2),(\text{azul},4)\}.
Fazendo a união sem repetir elementos, obtemos
A\cap(B\cup C)=\{(\text{vermelha},2),(\text{vermelha},4),(\text{vermelha},6),(\text{vermelha},8),(\text{vermelha},10),\\\ (\text{azul},2),(\text{azul},4)\}.

Passo 11

Calcular A^{c}\cap B^{c}\cap C^{c}: elementos que não são pares (ou seja, ímpares), que não são vermelhos (ou seja, são azuis) e que não têm número <5 (ou seja, número \geq 5). Juntando: cartas azuis, ímpares, com número em \{5,6,7,8,9,10\} mas ímpares dali são \{5,7,9\}. Portanto:
A^{c}\cap B^{c}\cap C^{c}=\{(\text{azul},5),(\text{azul},7),(\text{azul},9)\}.

Resposta

(a) \{(\text{vermelha},2),(\text{vermelha},4)\}
(b) \{(\text{vermelha},5),(\text{vermelha},6),(\text{vermelha},7),(\text{vermelha},8),(\text{vermelha},9),(\text{vermelha},10)\}
(c) \{(\text{vermelha},n)\mid n=1,\dots,10\}\cup\{(\text{azul},n)\mid n\in\{1,2,3,4,6,8,10\}\}
(d) \{(\text{vermelha},2),(\text{vermelha},4),(\text{vermelha},6),(\text{vermelha},8),(\text{vermelha},10),(\text{azul},2),(\text{azul},4)\}
(e) \{(\text{azul},5),(\text{azul},7),(\text{azul},9)\}

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