Suponha que a função densidade aleatória X\) seja a seguinte: \(f_{x}(x)= \begin{cases}\frac{\xi}{(1-x)^{2}} & \text { para } 0<x<1 \\\\ 0 & \text { caso contrainio. }\end{cases}
(a) Determine o valor da constante c e esboce a probabilidade.
(b) Encontre o valor de \mathrm{P}[X \leq 1 / 2].

Passo 1

O enunciado dá a função
f_X(x)=\begin{cases}\displaystyle \frac{\xi}{(1-x)^2}&\text{para }0<x<1,\\[6pt] 0&\text{caso contrário.}\end{cases}á
As perguntas são:
(a) determinar o valor da constante c (aqui representada por \xi) e “esboçar a probabilidade” (isto é, descrever/esboçar o formato da densidade);
(b) calcular \mathrm{P}[X\leq 1/2].
Informações relevantes fornecidas: a função está definida apenas no intervalo (0,1) por \xi/(1-x)^2, e há uma singularidade quando x\to1^{-} porque o denominador (1-x)^2 tende a zero.]

Passo 2

Primeiro conceito importante: para que uma função seja uma função densidade de probabilidade (pdf) precisa cumprir duas condições:
  1. f_X(x)\ge 0 para todo x. (Aqui, para 0<x<1, isso exige \xi\ge 0.)
  2. A integral total da pdf sobre todo o espaço deve ser 1:
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1.
No nosso caso a integral se reduz ao suporte (0,1), logo a condição de normalização é
\int_{0}^{1} \frac{\xi}{(1-x)^2}\,dx = 1.

Passo 3

A integral acima é uma integral imprópria porque o integrando tem singularidade em x=1. Devemos avaliá-la como limite:
\int_{0}^{1} \frac{\xi}{(1-x)^2}\,dx = \lim_{b\to 1^-} \int_{0}^{b} \frac{\xi}{(1-x)^2}\,dx.
Para resolver a integral indefinida, notamos que a derivada de (1-x)^{-1} em relação a x é
\frac{d}{dx}\big[(1-x)^{-1}\big] = (1-x)^{-2},
ou seja,
\int \frac{1}{(1-x)^2}\,dx = \frac{1}{1-x} + C.
Assim
\int_{0}^{b} \frac{\xi}{(1-x)^2}\,dx = \xi\left[\frac{1}{1-x}\right]_{x=0}^{x=b} = \xi\left(\frac{1}{1-b}-\frac{1}{1-0}\right) = \xi\left(\frac{1}{1-b}-1\right).
Agora tomamos o limite b\to1^{-}:
\lim_{b\to1^-}\xi\left(\frac{1}{1-b}-1\right)=\xi\cdot(\infty-1)=\infty
sempre que \xi>0. Se \xi=0 a integral é 0. Portanto não existe valor finito de \xi que faça a integral total igual a 1.

Passo 4

Conclusão sobre (a): Não existe constante finita \xi que normalize f_X (isto é, torne a integral total igual a 1). A integral diverge por causa da singularidade em x=1. Em palavras simples: a função tem uma assimptota vertical em x=1 e a área sob a curva no intervalo (0,1) é infinita (para qualquer \xi>0), logo não é possível obter uma pdf válida por multiplicação por uma constante finita.
Esboço/desenho intuitivo da “probabilidade” (forma da função): para 0<x<1 temos uma curva positiva que cresce ao se aproximar de x=1, com comportamento aproximadamente como uma assimptota vertical \sim \xi/(1-x)^2. Em x=0 o valor é f_X(0^+)=\xi. Não há massa de probabilidade fora de (0,1). Apesar do formato, a área sob a curva é infinita se \xi>0.

Passo 5

Agora (b): mesmo que a pdf não seja normalizável, podemos formalmente calcular a integral parcial até 1/2:
\mathrm{P}[X\leq 1/2]=\int_{0}^{1/2}\frac{\xi}{(1-x)^2}\,dx.
Usando a primitiva já encontrada:
\int_{0}^{1/2}\frac{\xi}{(1-x)^2}\,dx = \xi\left[\frac{1}{1-x}\right]_{0}^{1/2} = \xi\left(\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}-\frac{1}{1-0}\right) = \xi(2-1)=\xi.
Portanto, formalmente, a integral parcial de 0 a 1/2 vale \xi. Porém, como vimos em (a), não existe \xi finito que normalize a função para que ela seja uma pdf legítima; assim a quantidade \mathrm{P}[X\leq 1/2] não representa uma probabilidade válida em [0,1] a menos que se redefina o problema (por exemplo restringindo o suporte ou alterando a potência no denominador).

Resposta

(a) Não existe constante finita \xi que normalize f_X; a integral \int_0^1 \frac{\xi}{(1-x)^2}dx diverge (há uma assimptota em x=1), logo a função dada não é uma pdf válida.\
(b) Formalmente \mathrm{P}[X\leq 1/2]=\xi, mas essa quantidade não é uma probabilidade válida quando se exige normalização (ver item (a)).

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