Ex. 4 Se a probabilidade de que o estudante A reprove em um certo exame de é 0,2 , e a probabilidade de que tanto o estudante A quanto o estudante
B reprovem no exame é 0,1 . Qual é a probabilidade de que pelo menos um desses dois estudantes reprove no exame? E a probabilidade que
nenhum deles seja reprovado?
nenhum deles seja reprovado?
Passo 1
O enunciado dá duas informações numéricas e faz duas perguntas. Informações:
- A probabilidade de que o estudante A reprove é
. - A probabilidade de que tanto A quanto B reprovem é
.
Perguntas:
- Qual a probabilidade de que pelo menos um desses dois estudantes reprove no exame?
- Qual a probabilidade de que nenhum deles seja reprovado?
Passo 2
Vamos nomear eventos para ficar claro:
- Seja
o evento “estudante A reprova”. - Seja
o evento “estudante B reprova”.
O evento “pelo menos um reprove” é a união
. A fórmula básica de probabilidade para a união de dois eventos é:
Explicando cada termo:
-
é a probabilidade de que A ou B (ou ambos) aconteçam — isto é, pelo menos um reprovou. -
é a probabilidade de A acontecer. -
é a probabilidade de B acontecer. -
é a probabilidade de A e B acontecerem ao mesmo tempo (ambos reprovar), que evita dupla contagem.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os números que temos, substituímos
e
, mas reparamos que o enunciado não fornece
. Então, em termos de
obtemos:
Ou seja, sem mais informação sobre
não podemos dar um valor numérico único para
; só podemos dar essa expressão dependente de
.
Passo 4
A segunda pergunta: “nenhum deles seja reprovado” é o complemento do evento “pelo menos um reprove”. Para qualquer evento
,
. Assim:
Novamente, isso depende de
se
não for informado.
Passo 5
Muitos exercícios desse tipo assumem que os eventos “A reprova” e “B reprova” são independentes (ou seja, a reprovação de um não afeta a probabilidade do outro). Se assumirmos independência, vale a relação
Usando
e
, podemos resolver para
:
Aqui dividi
por
passo a passo:
.
Passo 6
Agora que, sob a hipótese de independência, encontramos
, substituímos na expressão de
:
Mostrei a soma e subtração:
, depois
.
Passo 7
E a probabilidade de que nenhum deles seja reprovado, complementando:
Passo 8
Resumo interpretativo (para você escolher qual usar na prova): se o enunciado NÃO disser nada sobre
nem sobre independência, a resposta correta e completa é expressar as probabilidades em função de
(como em Passo 3 e Passo 4). Se o enunciado implicitamente assume independência (o que é comum), então os valores numéricos são
e
. Vai na confiança: se na prova não estiver explícito, escreva a expressão em função de
e diga que assumindo independência obtemos os números.
Resposta
Caso geral (sem informação sobre
):
\n
Assumindo independência entre A e B:
\n