Ex. 4 Se a probabilidade de que o estudante A reprove em um certo exame de é 0,2 , e a probabilidade de que tanto o estudante A quanto o estudante
B reprovem no exame é 0,1 . Qual é a probabilidade de que pelo menos um desses dois estudantes reprove no exame? E a probabilidade que
nenhum deles seja reprovado?

Passo 1

O enunciado dá duas informações numéricas e faz duas perguntas. Informações:
  • A probabilidade de que o estudante A reprove é 0,2.
  • A probabilidade de que tanto A quanto B reprovem é 0,1.
Perguntas:
  1. Qual a probabilidade de que pelo menos um desses dois estudantes reprove no exame?
  2. Qual a probabilidade de que nenhum deles seja reprovado?

Passo 2

Vamos nomear eventos para ficar claro:
  • Seja A o evento “estudante A reprova”.
  • Seja B o evento “estudante B reprova”.
O evento “pelo menos um reprove” é a união A\cup B. A fórmula básica de probabilidade para a união de dois eventos é:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Explicando cada termo:
  • P(A\cup B) é a probabilidade de que A ou B (ou ambos) aconteçam — isto é, pelo menos um reprovou.
  • P(A) é a probabilidade de A acontecer.
  • P(B) é a probabilidade de B acontecer.
  • P(A\cap B) é a probabilidade de A e B acontecerem ao mesmo tempo (ambos reprovar), que evita dupla contagem.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números que temos, substituímos P(A)=0,2 e P(A\cap B)=0,1, mas reparamos que o enunciado não fornece P(B). Então, em termos de P(B) obtemos:
P(A\cup B)=0,2 + P(B) - 0,1 = P(B) + 0,1.
Ou seja, sem mais informação sobre P(B) não podemos dar um valor numérico único para P(A\cup B); só podemos dar essa expressão dependente de P(B).

Passo 4

A segunda pergunta: “nenhum deles seja reprovado” é o complemento do evento “pelo menos um reprove”. Para qualquer evento E, P(\text{complemento de }E)=1-P(E). Assim:
P(\text{nenhum reprove}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - (P(B) + 0,1) = 0,9 - P(B).
Novamente, isso depende de P(B) se P(B) não for informado.

Passo 5

Muitos exercícios desse tipo assumem que os eventos “A reprova” e “B reprova” são independentes (ou seja, a reprovação de um não afeta a probabilidade do outro). Se assumirmos independência, vale a relação
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Usando P(A\cap B)=0,1 e P(A)=0,2, podemos resolver para P(B):
P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0,1}{0,2}=0,5.
Aqui dividi 0,1 por 0,2 passo a passo: 0,1/0,2=(1/10)/(2/10)=1/2=0,5.

Passo 6

Agora que, sob a hipótese de independência, encontramos P(B)=0,5, substituímos na expressão de P(A\cup B):
P(A\cup B)=0,2 + 0,5 - 0,1 = 0,6.
Mostrei a soma e subtração: 0,2+0,5=0,7, depois 0,7-0,1=0,6.

Passo 7

E a probabilidade de que nenhum deles seja reprovado, complementando:
P(\text{nenhum reprove})=1-0,6=0,4.

Passo 8

Resumo interpretativo (para você escolher qual usar na prova): se o enunciado NÃO disser nada sobre P(B) nem sobre independência, a resposta correta e completa é expressar as probabilidades em função de P(B) (como em Passo 3 e Passo 4). Se o enunciado implicitamente assume independência (o que é comum), então os valores numéricos são 0,6 e 0,4. Vai na confiança: se na prova não estiver explícito, escreva a expressão em função de P(B) e diga que assumindo independência obtemos os números.

Resposta

Caso geral (sem informação sobre P(B)): P(\text{pelo menos um})=P(B)+0,1 \n P(\text{nenhum})=0,9-P(B)
Assumindo independência entre A e B: P(\text{pelo menos um})=0,6 \n P(\text{nenhum})=0,4

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