Ex.5. Uma partícula é descrita por:
(a) Calcule
.
(b) Calcule
e discuta se é constante no tempo.
(c) A função está normalizada? Comente.
(d) Esse é um estado estacionário? Justifique.
(b) Calcule
(c) A função está normalizada? Comente.
(d) Esse é um estado estacionário? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta a função de onda de uma partícula:
Precisamos resolver quatro partes:
(a) Calcular a densidade de corrente .
(b) Calcular a densidade de probabilidade e ver se ela é constante no tempo.
(c) Verificar se a função está normalizada e comentar sobre isso.
(d) Determinar se esse é um estado estacionário e justificar.
Vamos resolver passo a passo!
(a) Calcular a densidade de corrente
(b) Calcular a densidade de probabilidade
(c) Verificar se a função está normalizada e comentar sobre isso.
(d) Determinar se esse é um estado estacionário e justificar.
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Calculando
A densidade de corrente
na mecânica quântica é dada por:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
é o complexo conjugado de
.
Primeiro, encontramos o complexo conjugado de
:
Assumindo que
é real para simplificar, temos:
Agora, calculamos as derivadas:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Passo 3
Parte (b): Calculando
e verificando sua constância no tempo
A densidade de probabilidade
é dada por:
Calculando:
Observe que
não depende de
, então ela é constante no tempo.
Passo 4
Parte (c): Verificando se a função está normalizada
Para a função de onda estar normalizada, a integral de
sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Usando
:
Lembrando que:
Então:
Portanto, para que a função esteja normalizada,
deve ser escolhido conforme acima. Se
satisfaz essa condição, a função está normalizada.
Passo 5
Parte (d): Determinando se este é um estado estacionário
Um estado estacionário é aquele cuja densidade de probabilidade
não depende do tempo, o que observamos na parte (b). Além disso, os estados estacionários são soluções da equação de Schrödinger dependentes apenas de energias próprias.
Neste caso, como
é constante no tempo e a função de onda tem uma fase que varia no tempo de forma que o módulo da função não muda, podemos concluir que:
Sim, este é um estado estacionário.
Resposta
(a) A densidade de corrente é
.
(b) A densidade de probabilidade é
e é constante no tempo.
(c) A função está normalizada se
.
(d) Sim, este é um estado estacionário, pois a densidade de probabilidade não depende do tempo.