Ex.5. Uma partícula é descrita por:
psi(x, t)=A e^i(k x-omega t) e^-x^2 /(2 a^2)
(a) Calcule j(x, t).
(b) Calcule rho(x, t) e discuta se é constante no tempo.
(c) A função está normalizada? Comente.
(d) Esse é um estado estacionário? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta a função de onda de uma partícula:
psi(x, t) = A e^i(k x - omega t) e^-x^2/(2 a^2)
Precisamos resolver quatro partes:
(a) Calcular a densidade de corrente j(x, t) .
(b) Calcular a densidade de probabilidade rho(x, t) e ver se ela é constante no tempo.
(c) Verificar se a função está normalizada e comentar sobre isso.
(d) Determinar se esse é um estado estacionário e justificar.
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Calculando j(x, t)
A densidade de corrente j(x, t) na mecânica quântica é dada por:
j(x, t) = hbar2mi ( psi^* partial psipartial x - psi partial psi^*partial x )
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, e psi^* é o complexo conjugado de psi .
Primeiro, encontramos o complexo conjugado de psi(x, t) :
psi^*(x, t) = A^* e^-i(k x - omega t) e^-x^2/(2 a^2)
Assumindo que A é real para simplificar, temos:
psi^*(x, t) = A e^-i(k x - omega t) e^-x^2/(2 a^2)
Agora, calculamos as derivadas:
partial psipartial x = A ( ik - xa^2 ) e^i(k x - omega t) e^-x^2/(2 a^2)
partial psi^*partial x = A ( -ik - xa^2 ) e^-i(k x - omega t) e^-x^2/(2 a^2)
Substituindo na expressão de j(x, t) :
j(x, t) = hbar2mi [ A e^-i(k x - omega t) e^-x^2/(2 a^2) cdot A ( ik - xa^2 ) e^i(k x - omega t) e^-x^2/(2 a^2) - cc ]
Simplificando:
j(x, t) = hbar2mi cdot A^2 [ (ik - xa^2) - (-ik - xa^2) ] e^-x^2/(a^2)
j(x, t) = hbar2mi cdot A^2 (2ik) e^-x^2/(a^2)
j(x, t) = hbar k A^2m e^-x^2/(a^2)

Passo 3

Parte (b): Calculando rho(x, t) e verificando sua constância no tempo
A densidade de probabilidade rho(x, t) é dada por:
rho(x, t) = |psi(x, t)|^2 = psi^*(x, t) psi(x, t)
Calculando:
rho(x, t) = A e^-i(k x - omega t) e^-x^2/(2 a^2) cdot A e^i(k x - omega t) e^-x^2/(2 a^2)
rho(x, t) = A^2 e^-x^2/(a^2)
Observe que rho(x, t) não depende de t , então ela é constante no tempo.

Passo 4

Parte (c): Verificando se a função está normalizada
Para a função de onda estar normalizada, a integral de rho(x, t) sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
integral-infty^infty rho(x, t) dx = 1
Usando rho(x, t) = A^2 e^-x^2/(a^2) :
A^2 integral-infty^infty e^-x^2/(a^2) dx = 1
Lembrando que:
integral-infty^infty e^-x^2/(a^2) dx = a raizpi
Então:
A^2 a raizpi = 1 Rightarrow A = 1raiza raizpi = ( 1a raizpi )^1/2
Portanto, para que a função esteja normalizada, A deve ser escolhido conforme acima. Se A satisfaz essa condição, a função está normalizada.

Passo 5

Parte (d): Determinando se este é um estado estacionário
Um estado estacionário é aquele cuja densidade de probabilidade rho(x, t) não depende do tempo, o que observamos na parte (b). Além disso, os estados estacionários são soluções da equação de Schrödinger dependentes apenas de energias próprias.
Neste caso, como rho(x, t) é constante no tempo e a função de onda tem uma fase que varia no tempo de forma que o módulo da função não muda, podemos concluir que:
Sim, este é um estado estacionário.

Resposta

(a) A densidade de corrente é j(x, t) = dfrachbar k A^2m e^-x^2/a^2 .
(b) A densidade de probabilidade é rho(x, t) = A^2 e^-x^2/a^2 e é constante no tempo.
(c) A função está normalizada se A = dfrac1raiza raizpi .
(d) Sim, este é um estado estacionário, pois a densidade de probabilidade não depende do tempo.

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