Ex.7. Considere um sistema unidimensional com função de onda psi(x, t).
(a) Descreva qualitativamente como lang<= xrang<=(t) e lang<= prang<=(t) podem evoluir no tempo.
(b) Interprete fisicamente os operadores x e p como grandezas observáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 7 sobre um sistema unidimensional com função de onda psi(x, t). O exercício tem duas partes:
a) Queremos descrever de forma qualitativa como a expectativa do posicionamento lang<= xrang<=(t) e a expectativa do momentum lang<= prang<=(t) evoluem no tempo.
b) Precisamos interpretar fisicamente os operadores x e p como grandezas observáveis.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como valores esperados e operadores observáveis.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). Primeiro, precisamos entender o que é a expectativa de uma quantidade física, como posição ou momentum. A expectativa lang<= A rang<= de um operador A em um estado psi é o valor médio que você esperaria medir se fizesse muitas medições dessa grandeza no estado psi.
Então, lang<= xrang<=(t) é o valor médio da posição no tempo t, e lang<= prang<=(t) é o valor médio do momentum no tempo t.

Passo 3

Para ver como esses valores mudam no tempo, podemos usar o teorema de Ehrenfest, que nos conecta a mecânica quântica com a mecânica clássica. Segundo o teorema, as derivadas de lang<= xrang<= e lang<= prang<= no tempo são dadas por:
dlang<= x rang<=dt = lang<= p rang<=m
dlang<= p rang<=dt = -lang<= dVdx rang<=
Aqui, m é a massa da partícula e V(x) é o potencial.

Passo 4

Vamos interpretar essas equações qualitativamente:
  • A primeira equação diz que a taxa de variação da expectativa da posição é proporcional à expectativa do momentum. Ou seja, se lang<= p rang<= é constante, lang<= x rang<= muda linearmente no tempo, como na física clássica.
  • A segunda equação mostra que a taxa de variação da expectativa do momentum está relacionada à força média que atua na partícula, já que -dVdx é a força derivada do potencial.

Passo 5

Então, qualitativamente:
  • Se o potencial V(x) é tal que a força média é constante ou depende de lang<= x rang<=, lang<= p rang<=(t) pode variar de forma constante ou dinâmica no tempo.
  • Da mesma forma, lang<= x rang<=(t) seguirá um comportamento que depende da variação de lang<= p rang<=(t). Se lang<= p rang<= for constante, lang<= x rang<= aumentará ou diminuirá linearmente; se lang<= p rang<= variar, o movimento será mais complexo.

Passo 6

Agora, para a parte (b), precisamos interpretar fisicamente os operadores x e p.
  • O operador x representa a posição da partícula. Quando aplicamos esse operador à função de onda psi(x, t), ele está associando cada ponto x ao valor da posição da partícula naquele ponto.
  • O operador p = -ihbar ddx representa o momentum da partícula. Ele está ligado à quantidade de movimento e, na mecânica quântica, está relacionado à variação espacial da função de onda.

Resposta

a) As expectativas lang<= xrang<=(t) e lang<= prang<=(t) evoluem no tempo de acordo com as leis clássicas de movimento, onde a variação da posição depende da expectativa do momentum e a variação do momentum depende da força média atuante. Isso significa que lang<= xrang<=(t) pode variar linear ou dinamicamente no tempo, dependendo de como lang<= prang<=(t) se comporta, e lang<= prang<=(t) varia conforme a força derivada do potencial.
b) Os operadores x e p representam, respectivamente, a posição e o momentum da partícula como grandezas observáveis na mecânica quântica. Eles atuam sobre a função de onda psi(x, t) para fornecer informações sobre a média desses valores físicos quando medidas.

Exercícios relacionados