Ex.7. Considere um sistema unidimensional com função de onda
.
(a) Descreva qualitativamente como
e
podem evoluir no tempo.
(b) Interprete fisicamente os operadores
e
como grandezas observáveis.
(a) Descreva qualitativamente como
(b) Interprete fisicamente os operadores
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 7 sobre um sistema unidimensional com função de onda
. O exercício tem duas partes:
a) Queremos descrever de forma qualitativa como a expectativa do posicionamento
e a expectativa do momentum
evoluem no tempo.
b) Precisamos interpretar fisicamente os operadores
e
como grandezas observáveis.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como valores esperados e operadores observáveis.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). Primeiro, precisamos entender o que é a expectativa de uma quantidade física, como posição ou momentum. A expectativa
de um operador
em um estado
é o valor médio que você esperaria medir se fizesse muitas medições dessa grandeza no estado
.
Então,
é o valor médio da posição no tempo
, e
é o valor médio do momentum no tempo
.
Passo 3
Para ver como esses valores mudam no tempo, podemos usar o teorema de Ehrenfest, que nos conecta a mecânica quântica com a mecânica clássica. Segundo o teorema, as derivadas de
e
no tempo são dadas por:
Aqui,
é a massa da partícula e
é o potencial.
Passo 4
Vamos interpretar essas equações qualitativamente:
-
A primeira equação diz que a taxa de variação da expectativa da posição é proporcional à expectativa do momentum. Ou seja, se
é constante, muda linearmente no tempo, como na física clássica. -
A segunda equação mostra que a taxa de variação da expectativa do momentum está relacionada à força média que atua na partícula, já que
é a força derivada do potencial.
Passo 5
Então, qualitativamente:
-
Se o potencial
é tal que a força média é constante ou depende de , pode variar de forma constante ou dinâmica no tempo. -
Da mesma forma,
seguirá um comportamento que depende da variação de . Se for constante, aumentará ou diminuirá linearmente; se variar, o movimento será mais complexo.
Passo 6
Agora, para a parte (b), precisamos interpretar fisicamente os operadores
e
.
-
O operador
representa a posição da partícula. Quando aplicamos esse operador à função de onda , ele está associando cada ponto ao valor da posição da partícula naquele ponto. -
O operador
representa o momentum da partícula. Ele está ligado à quantidade de movimento e, na mecânica quântica, está relacionado à variação espacial da função de onda.
Resposta
a) As expectativas
e
evoluem no tempo de acordo com as leis clássicas de movimento, onde a variação da posição depende da expectativa do momentum e a variação do momentum depende da força média atuante. Isso significa que
pode variar linear ou dinamicamente no tempo, dependendo de como
se comporta, e
varia conforme a força derivada do potencial.
b) Os operadores
e
representam, respectivamente, a posição e o momentum da partícula como grandezas observáveis na mecânica quântica. Eles atuam sobre a função de onda
para fornecer informações sobre a média desses valores físicos quando medidas.