Ex.3. Seja:
psi(x, t)=A e^-x^2 / 2 a^2 e^i k x e^-i E t / hbar
(a) Calcule a densidade de corrente de probabilidade j(x, t).
(b) Verifique se a densidade de probabilidade rho(x, t)=|psi(x, t)|^2 depende do tempo.
(c) Interprete o resultado fisicamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma função de onda psi(x, t) e pede para calcular três coisas: a densidade de corrente de probabilidade j(x, t), verificar se a densidade de probabilidade rho(x, t) depende do tempo e interpretar o resultado fisicamente. Para isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica quântica como função de onda, densidade de probabilidade e densidade de corrente de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade de corrente de probabilidade j(x, t). A fórmula geral para j(x, t) em uma dimensão é:
j(x, t) = hbar2mi ( psi^* partial psipartial x - psi partial psi^*partial x )
Aqui, psi^* é o complexo conjugado da função de onda psi(x, t), hbar é a constante reduzida de Planck, m é a massa da partícula, e i é a unidade imaginária.

Passo 3

Vamos encontrar psi^*, o complexo conjugado de psi(x, t):
psi^*(x, t) = A e^-x^2 / 2 a^2 e^-i k x e^i E t / hbar
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de psi e psi^* em relação a x:
partial psipartial x = psi(x, t) ( -xa^2 + i k )
partial psi^*partial x = psi^*(x, t) ( -xa^2 - i k )

Passo 4

Substituindo psi, psi^*, partial psipartial x e partial psi^*partial x na fórmula de j(x, t):
j(x, t) = hbar2mi ( psi^* ( -xa^2 + i k ) psi - psi ( -xa^2 - i k ) psi^* )
Simplificando:
j(x, t) = hbar2mi ( ( -xa^2 + i k ) |psi|^2 - ( -xa^2 - i k ) |psi|^2 )
j(x, t) = hbar2mi ( 2 i k |psi|^2 )
j(x, t) = hbar km |psi|^2

Passo 5

Agora, vamos verificar se a densidade de probabilidade rho(x, t) = |psi(x, t)|^2 depende do tempo. Calculando |psi(x, t)|^2:
|psi(x, t)|^2 = psi(x, t) psi^*(x, t) = A^2 e^-x^2 / a^2 e^i k x e^-i k x e^-i E t / hbar e^i E t / hbar = A^2 e^-x^2 / a^2
Observe que todas as partes dependentes de t se cancelaram, restando apenas A^2 e^-x^2 / a^2, que não depende do tempo.

Passo 6

Por fim, vamos interpretar fisicamente os resultados obtidos:
(a) A densidade de corrente de probabilidade j(x, t) = hbar km |psi|^2 nos mostra como a probabilidade de encontrar a partícula se move no espaço ao longo do tempo. Isso está relacionado ao fluxo de probabilidade.
(b) A densidade de probabilidade rho(x, t) não depende do tempo, indicando que a distribuição de probabilidade da posição da partícula permanece constante ao longo do tempo.
(c) Fisicamente, isso significa que, apesar da partícula ter uma corrente de probabilidade (indicando movimento), a distribuição de onde ela pode ser encontrada não muda no tempo. Isso é característico de estados estacionários, onde as propriedades físicas do sistema não variam com o tempo.

Resposta

(a) j(x, t) = dfrachbar km A^2 e^-x^2 / a^2
(b) Não, rho(x, t) = A^2 e^-x^2 / a^2 não depende do tempo.
(c) A distribuição de probabilidade da posição da partícula permanece constante ao longo do tempo, indicando um estado estacionário, mesmo havendo uma corrente de probabilidade associada ao movimento da partícula.

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