Ex.3. Seja:
(a) Calcule a densidade de corrente de probabilidade
.
(b) Verifique se a densidade de probabilidade
depende do tempo.
(c) Interprete o resultado fisicamente.
(b) Verifique se a densidade de probabilidade
(c) Interprete o resultado fisicamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma função de onda
e pede para calcular três coisas: a densidade de corrente de probabilidade
, verificar se a densidade de probabilidade
depende do tempo e interpretar o resultado fisicamente. Para isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica quântica como função de onda, densidade de probabilidade e densidade de corrente de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a densidade de corrente de probabilidade
. A fórmula geral para
em uma dimensão é:
Aqui,
é o complexo conjugado da função de onda
,
é a constante reduzida de Planck,
é a massa da partícula, e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Vamos encontrar
, o complexo conjugado de
:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na fórmula de
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos verificar se a densidade de probabilidade
depende do tempo. Calculando
:
Observe que todas as partes dependentes de
se cancelaram, restando apenas
, que não depende do tempo.
Passo 6
Por fim, vamos interpretar fisicamente os resultados obtidos:
(a) A densidade de corrente de probabilidade
nos mostra como a probabilidade de encontrar a partícula se move no espaço ao longo do tempo. Isso está relacionado ao fluxo de probabilidade.
(b) A densidade de probabilidade
não depende do tempo, indicando que a distribuição de probabilidade da posição da partícula permanece constante ao longo do tempo.
(c) Fisicamente, isso significa que, apesar da partícula ter uma corrente de probabilidade (indicando movimento), a distribuição de onde ela pode ser encontrada não muda no tempo. Isso é característico de estados estacionários, onde as propriedades físicas do sistema não variam com o tempo.
Resposta
(a)
(b) Não,
não depende do tempo.
(c) A distribuição de probabilidade da posição da partícula permanece constante ao longo do tempo, indicando um estado estacionário, mesmo havendo uma corrente de probabilidade associada ao movimento da partícula.