Ex.6. Considere a função:
psi(x, 0)=raiz2L[sin (pi xL)+sin (2 pi xL)]
(a) Verifique a normalização.
(b) Calcule lang<= xrang<=,lang<= prang<=,lang<= x^2rang<=,lang<= p^2rang<=.
(c) Estude o comportamento temporal de |psi(x, t)|^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou está relacionado à mecânica quântica, mais especificamente sobre funções de onda e suas propriedades. Precisamos verificar se a função dada está normalizada, calcular alguns valores esperados (como posição e momento) e entender como a função de onda se comporta ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de normalização de funções de onda, operadores de posição e momento, e a evolução temporal de funções de onda na mecânica quântica.

Passo 2

Parte (a): Verificar a normalização
Primeiro, vamos conferir se a função de onda psi(x, 0) está normalizada. Normalizar significa que a probabilidade total de encontrar a partícula no espaço é igual a 1. Matemáticamente, isso é feito calculando a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o domínio e verificando se resulta em 1.
A função dada é:
psi(x, 0) = raiz2L [ sin ( pi xL ) + sin ( 2pi xL ) ]
Para normalizar, calculamos:
integral0^L |psi(x, 0)|^2 , dx = 1
Vamos expandir |psi(x, 0)|^2:
|psi(x, 0)|^2 = ( raiz2L )^2 [ sin ( pi xL ) + sin ( 2pi xL ) ]^2 = 2L [ sin^2 ( pi xL ) + 2 sin ( pi xL ) sin ( 2pi xL ) + sin^2 ( 2pi xL ) ]
Agora, integramos cada termo separadamente de 0 a L:
2L [ integral0^L sin^2 ( pi xL ) dx + 2 integral0^L sin ( pi xL ) sin ( 2pi xL ) dx + integral0^L sin^2 ( 2pi xL ) dx ]
Sabemos que:
integral0^L sin^2 ( npi xL ) dx = L2
E
integral0^L sin ( pi xL ) sin ( 2pi xL ) dx = 0
Substituindo:
2L [ L2 + 0 + L2 ] = 2L cdot L = 2
Aqui, vemos que o resultado é 2, não 1. Isso significa que a função não está normalizada. Para normalizar, precisamos dividir a função original por raiz2:
psinormalizada(x, 0) = 1raiz2 cdot raiz2L [ sin ( pi xL ) + sin ( 2pi xL ) ] = raiz1L [ sin ( pi xL ) + sin ( 2pi xL ) ]

Passo 3

Parte (b): Calcular lang<= x rang<=, lang<= p rang<=, lang<= x^2 rang<=, lang<= p^2 rang<=
Vamos calcular os valores esperados para posição ( lang<= x rang<=), momento ( lang<= p rang<=), o quadrado da posição ( lang<= x^2 rang<=) e o quadrado do momento ( lang<= p^2 rang<=).
1. lang<= x rang<=:
lang<= x rang<= = integral0^L psi^*(x, 0) , x , psi(x, 0) , dx
Como a função é real e normalizada:
lang<= x rang<= = integral0^L psi(x, 0)^2 , x , dx
Usando a função normalizada, calculamos:
lang<= x rang<= = raiz1L^2 integral0^L [ sin ( pi xL ) + sin ( 2pi xL ) ]^2 x , dx
Após expandir e calcular as integrais (os termos de produto de senos com diferentes frequências se anulam), teremos:
lang<= x rang<= = L2
2. lang<= p rang<=:
O operador de momento é:
p = -ihbar ddx
Então:
lang<= p rang<= = integral0^L psi^*(x, 0) ( -ihbar ddx ) psi(x, 0) , dx
Como psi(x,0) é uma combinação de senos que são funções reais e ímpar, o resultado dessa integral será zero:
lang<= p rang<= = 0
3. lang<= x^2 rang<=:
Similar ao cálculo de lang<= x rang<=:
lang<= x^2 rang<= = integral0^L psi(x, 0)^2 , x^2 , dx
Após os cálculos, obtemos:
lang<= x^2 rang<= = L^23
4. lang<= p^2 rang<=:
Aplicamos o operador de momento duas vezes:
lang<= p^2 rang<= = integral0^L psi^*(x, 0) ( -hbar^2 d^2dx^2 ) psi(x, 0) , dx
Calculando as derivadas segundas das funções seno e integrando, obtemos:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 pi^2L^2 ( 1^2 + 2^2 ) = 5hbar^2 pi^2L^2

Passo 4

Parte (c): Estudar o comportamento temporal de |psi(x, t)|^2
A evolução temporal da função de onda é dada por:
psi(x, t) = raiz1L [ sin ( pi xL ) e^-iE1 t / hbar + sin ( 2pi xL ) e^-iE2 t / hbar ]
Onde En = n^2 pi^2 hbar^22mL^2.
Para encontrar |psi(x, t)|^2:
|psi(x, t)|^2 = psi(x, t)^* psi(x, t) = 1L [ sin^2 ( pi xL ) + sin^2 ( 2pi xL ) + 2 sin ( pi xL ) sin ( 2pi xL ) cos ( (E2 - E1) thbar ) ]
Isso mostra que a densidade de probabilidade oscila no tempo devido ao termo de interferência, com uma frequência determinada pela diferença de energias (E2 - E1). Portanto, |psi(x, t)|^2 apresenta um comportamento oscilatório no tempo.

Resposta

(a) A função psi(x, 0) não está normalizada originalmente, mas ao normalizá-la, garantimos que a probabilidade total é igual a 1.
(b) Os valores esperados são:
lang<= x rang<= = L2, lang<= p rang<= = 0, lang<= x^2 rang<= = L^23, lang<= p^2 rang<= = 5hbar^2 pi^2L^2
(c) A densidade de probabilidade |psi(x, t)|^2 oscila no tempo devido ao termo de interferência entre diferentes modos de energia, mostrando um comportamento temporal periódico.

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