Ex.6. Considere a função:
(a) Verifique a normalização.
(b) Calcule
.
(c) Estude o comportamento temporal de
.
(b) Calcule
(c) Estude o comportamento temporal de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou está relacionado à mecânica quântica, mais especificamente sobre funções de onda e suas propriedades. Precisamos verificar se a função dada está normalizada, calcular alguns valores esperados (como posição e momento) e entender como a função de onda se comporta ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de normalização de funções de onda, operadores de posição e momento, e a evolução temporal de funções de onda na mecânica quântica.
Passo 2
Parte (a): Verificar a normalização
Primeiro, vamos conferir se a função de onda
está normalizada. Normalizar significa que a probabilidade total de encontrar a partícula no espaço é igual a 1. Matemáticamente, isso é feito calculando a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o domínio e verificando se resulta em 1.
A função dada é:
Para normalizar, calculamos:
Vamos expandir
:
Agora, integramos cada termo separadamente de 0 a L:
Sabemos que:
E
Substituindo:
Aqui, vemos que o resultado é 2, não 1. Isso significa que a função não está normalizada. Para normalizar, precisamos dividir a função original por
:
Passo 3
Parte (b): Calcular
,
,
,
Vamos calcular os valores esperados para posição (
), momento (
), o quadrado da posição (
) e o quadrado do momento (
).
1.
:
Como a função é real e normalizada:
Usando a função normalizada, calculamos:
Após expandir e calcular as integrais (os termos de produto de senos com diferentes frequências se anulam), teremos:
2.
:
O operador de momento é:
O operador de momento é:
Então:
Como
é uma combinação de senos que são funções reais e ímpar, o resultado dessa integral será zero:
3.
:
Similar ao cálculo de :
Similar ao cálculo de
Após os cálculos, obtemos:
4.
:
Aplicamos o operador de momento duas vezes:
Aplicamos o operador de momento duas vezes:
Calculando as derivadas segundas das funções seno e integrando, obtemos:
Passo 4
Parte (c): Estudar o comportamento temporal de
A evolução temporal da função de onda é dada por:
Onde
.
Para encontrar
:
Isso mostra que a densidade de probabilidade oscila no tempo devido ao termo de interferência, com uma frequência determinada pela diferença de energias
. Portanto,
apresenta um comportamento oscilatório no tempo.
Resposta
(a) A função
não está normalizada originalmente, mas ao normalizá-la, garantimos que a probabilidade total é igual a 1.
(b) Os valores esperados são:
(c) A densidade de probabilidade
oscila no tempo devido ao termo de interferência entre diferentes modos de energia, mostrando um comportamento temporal periódico.