Resolva por fatores integrantes
Passo 1
O problema nos dá a equação diferencial com condição inicial:
O que o enunciado pede: encontrar a solução
que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é de primeira ordem envolvendo
e . - O coeficiente da derivada é
, que é sempre positivo (não se anula para nenhum ). - A condição inicial é
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão de equação linear de primeira ordem
Dividindo toda a equação por
(válido pois
para todo
), obtemos
Aqui identificamos
Passo 3
Agora explico o método dos fatores integrantes de forma didática: para uma equação linear
um fator integrante
é uma função tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto
:
Para que isso valha é suficiente escolher
com
ou seja
Integrando ambos os lados, obtemos a receita prática:
Depois de achar
, multiplicamos a equação original por
e obtemos
e então integramos ambos os lados para encontrar
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso
, calculamos o fator integrante:
Calculemos a integral
Calculemos a integral
Faça a substituição
. Então
, logo
. Assim
Voltando a
,
Portanto o fator integrante é
onde usei que
para eliminar o valor absoluto.
Passo 5
Multiplicamos a equação na forma padrão por
. O lado esquerdo vira a derivada do produto:
Simplificando o lado direito,
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. Para o lado direito fazemos novamente a substituição
,
, então
. Assim
Voltando a
,
Então da integração obtemos
onde
é constante de integração.
Passo 7
Isolando
, dividimos ambos os lados por
(novamente não nulo):
Essa é a solução geral da equação diferencial, com uma constante
a ser determinada pela condição inicial.
Passo 8
Impondo a condição inicial
, substituímos
:
Calcule
:
, então
. Assim
Isolando
,
Passo 9
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial: