Resolva por fatores integrantes
\left(x^{2}+4\right) y^{\prime}+3 x y=x, y(0)=1

Passo 1

O problema nos dá a equação diferencial com condição inicial:
\left(x^{2}+4\right) y^{\prime}+3 x y=x,\qquad y(0)=1.
O que o enunciado pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é de primeira ordem envolvendo y' e y.
  • O coeficiente da derivada é \left(x^{2}+4\right), que é sempre positivo (não se anula para nenhum x).
  • A condição inicial é y(0)=1.

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão de equação linear de primeira ordem
y'+P(x)\,y=Q(x).
Dividindo toda a equação por \left(x^{2}+4\right) (válido pois x^{2}+4>0 para todo x), obtemos
y'+\frac{3x}{x^{2}+4}\,y=\frac{x}{x^{2}+4}.
Aqui identificamos
P(x)=\frac{3x}{x^{2}+4},\qquad Q(x)=\frac{x}{x^{2}+4}.

Passo 3

Agora explico o método dos fatores integrantes de forma didática: para uma equação linear
y'+P(x)\,y=Q(x),
um fator integrante \mu(x) é uma função tal que, ao multiplicar a equação por \mu, o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu y:
\mu y'+\mu P y=(\mu y)'.
Para que isso valha é suficiente escolher \mu com
\mu'(x)=\mu(x)P(x),
ou seja
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=P(x).
Integrando ambos os lados, obtemos a receita prática:
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Depois de achar \mu, multiplicamos a equação original por \mu e obtemos
(\mu y)'=\mu Q,
e então integramos ambos os lados para encontrar y.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso P(x)=\dfrac{3x}{x^{2}+4}, calculamos o fator integrante:
Calculemos a integral
\int P(x)\,dx=\int \frac{3x}{x^{2}+4}\,dx.
Faça a substituição u=x^{2}+4. Então du=2x\,dx, logo x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \frac{3x}{x^{2}+4}\,dx = 3\int \frac{x\,dx}{x^{2}+4} = 3\int \frac{1}{2}\frac{du}{u}=\frac{3}{2}\ln|u|+\text{const}.
Voltando a x,
\int P(x)\,dx=\frac{3}{2}\ln\!\big(x^{2}+4\big).
Portanto o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\frac{3}{2}\ln\!\big(x^{2}+4\big)\right)=(x^{2}+4)^{3/2},
onde usei que x^{2}+4>0 para eliminar o valor absoluto.

Passo 5

Multiplicamos a equação na forma padrão por \mu(x)=(x^{2}+4)^{3/2}. O lado esquerdo vira a derivada do produto:
\big((x^{2}+4)^{3/2}y\big)'=(x^{2}+4)^{3/2}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}.
Simplificando o lado direito,
(x^{2}+4)^{3/2}\cdot\frac{x}{x^{2}+4}=x\,(x^{2}+4)^{1/2}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big((x^{2}+4)^{3/2}y\big)'\,dx=\int x\,(x^{2}+4)^{1/2}\,dx.
O lado esquerdo integra para (x^{2}+4)^{3/2}y. Para o lado direito fazemos novamente a substituição u=x^{2}+4, du=2x\,dx, então x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int x\,(x^{2}+4)^{1/2}\,dx=\int (x\,dx)\,u^{1/2}=\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+\!C=\frac{1}{3}u^{3/2}+C.
Voltando a x,
\int x\,(x^{2}+4)^{1/2}\,dx=\frac{1}{3}(x^{2}+4)^{3/2}+C.
Então da integração obtemos
(x^{2}+4)^{3/2}y=\frac{1}{3}(x^{2}+4)^{3/2}+C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Isolando y, dividimos ambos os lados por (x^{2}+4)^{3/2} (novamente não nulo):
y=\frac{1}{3}+\frac{C}{(x^{2}+4)^{3/2}}.
Essa é a solução geral da equação diferencial, com uma constante C a ser determinada pela condição inicial.

Passo 8

Impondo a condição inicial y(0)=1, substituímos x=0:
1=\frac{1}{3}+\frac{C}{(0^{2}+4)^{3/2}}=\frac{1}{3}+\frac{C}{4^{3/2}}.
Calcule 4^{3/2}: \sqrt{4}=2, então 4^{3/2}=2^{3}=8. Assim
1=\frac{1}{3}+\frac{C}{8}.
Isolando C,
\frac{C}{8}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}.

Passo 9

Substituindo C=\dfrac{16}{3} na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{1}{3}+\frac{16/3}{(x^{2}+4)^{3/2}}=\frac{1}{3}+\frac{16}{3\,(x^{2}+4)^{3/2}}.

Resposta

y(x)=\frac{1}{3}+\frac{16}{3\,(x^{2}+4)^{3/2}}

Exercícios relacionados