Resolva por métodos de substituiçio.
y y^{\prime}+x=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y\,y^{\prime}+x=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2},
onde y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}. A tarefa é resolver a equação por métodos de substituição — isto é, encontrar as funções y(x) que satisfazem essa igualdade e expor o procedimento passo a passo.
Informações dadas:
  • A equação relaciona x, y e y^{\prime}.
  • Aparece a expressão \left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}, que sugere trabalhar com a quantidade \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O que é pedido:
  • Resolver a equação, encontrando a família de soluções y(x) em forma explícita (quando possível) e explicando as condições necessárias (domínio, constantes, sinais).

Passo 2

Ideia da substituição (explicação didática).
Quando aparece a expressão \left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2} é natural definir uma nova função que seja exatamente essa quantidade, porque ela envolve x e y de forma simétrica. Definindo
r(x)=\left(x^{2}+y(x)^{2}\right)^{1/2},
fica mais fácil manipular a equação. A substituição é:
r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}.
Explicando passo a passo: r é apenas um nome para a função \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Nos interessa também a sua derivada dr/dx, porque a equação original envolve y^{\prime}.

Passo 3

Cálculo de dr/dx em termos de x, y e y^{\prime}.
Vamos derivar r usando a regra da cadeia. Primeiro escrevemos r=(x^{2}+y^{2})^{1/2}. Derivando em relação a x:
\frac{dr}{dx}=\frac{1}{2}\,(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot\left(2x+2y\,\frac{dy}{dx}\right).
Simplificando os fatores 2 e rearranjando,
\frac{dr}{dx}=\frac{x+y\,y^{\prime}}{r}.
Esta fórmula é importante: ela mostra que a combinação x+y\,y^{\prime} aparece naturalmente quando derivamos \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Usar a equação original para simplificar dr/dx.
A equação dada é
y\,y^{\prime}+x=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}.
Pelo que definimos, o lado direito é exatamente r. Portanto a equação pode ser escrita como
x+y\,y^{\prime}=r.
Substituindo essa igualdade na expressão de dr/dx do passo anterior:
\frac{dr}{dx}=\frac{x+y\,y^{\prime}}{r}=\frac{r}{r}=1.
Ou seja, a substituição reduziu a equação complicada a uma equação diferencial muito simples:
\frac{dr}{dx}=1.

Passo 5

Integração da equação em r e retorno às variáveis originais.
Integrando \dfrac{dr}{dx}=1 em relação a x obtemos
r=x+C,
onde C é a constante de integração. Voltando à definição de r,
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}=x+C.
Agora isolamos y. Elevando ambos os lados ao quadrado (com cuidado sobre possíveis restrições de sinal, que veremos a seguir):
x^{2}+y^{2}=(x+C)^{2}=x^{2}+2Cx+C^{2}.
Cancelando x^{2} dos dois lados:
y^{2}=2Cx+C^{2}.
Portanto
y=\pm\left(2Cx+C^{2}\right)^{1/2}.

Passo 6

Condições, interpretação do sinal e casos especiais.
  1. Como r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2} é não negativa, da igualdade r=x+C segue a restrição
x+C\ge 0.
Logo as soluções só são válidas onde x+C\ge 0.
  1. Além disso, o radicando deve ser não negativo:
2Cx+C^{2}\ge 0,
que é equivalente à condição x+C\ge 0 (porque 2Cx+C^{2}=(x+C)^{2}-x^{2}, mas de forma direta vem da igualdade inicial). Assim, a condição principal a observar é x+C\ge 0.
  1. O sinal \pm em y=\pm\sqrt{2Cx+C^{2}} é determinado por uma condição inicial, se houver: para um par (x_{0},y_{0}) dado, escolhe-se o sinal tal que y_{0} seja obtido e a constante C é
C=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}-x_{0}.
  1. Caso especial C=0: a solução fica y=0 e a restrição x+0\ge 0 x\ge 0. Verificando na equação original, y\equiv 0 com x\ge 0 satisfaz x=\lvert x\rvert, está consistente.

Resposta

y=\pm\sqrt{2Cx+C^{2}},\quad\text{com }x+C\ge 0

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