Resolva por métodos de substituiçio.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
onde
. A tarefa é resolver a equação por métodos de substituição — isto é, encontrar as funções
que satisfazem essa igualdade e expor o procedimento passo a passo.
Informações dadas:
- A equação relaciona
, e . - Aparece a expressão
, que sugere trabalhar com a quantidade .
O que é pedido:
- Resolver a equação, encontrando a família de soluções
em forma explícita (quando possível) e explicando as condições necessárias (domínio, constantes, sinais).
Passo 2
Ideia da substituição (explicação didática).
Quando aparece a expressão é natural definir uma nova função que seja exatamente essa quantidade, porque ela envolve
e
de forma simétrica. Definindo
Quando aparece a expressão
fica mais fácil manipular a equação. A substituição é:
Explicando passo a passo:
é apenas um nome para a função
. Nos interessa também a sua derivada
, porque a equação original envolve
.
Passo 3
Cálculo de
em termos de
,
e
.
Vamos derivar usando a regra da cadeia. Primeiro escrevemos
. Derivando em relação a
:
Vamos derivar
Simplificando os fatores
e rearranjando,
Esta fórmula é importante: ela mostra que a combinação
aparece naturalmente quando derivamos
.
Passo 4
Usar a equação original para simplificar
.
A equação dada é
A equação dada é
Pelo que definimos, o lado direito é exatamente
. Portanto a equação pode ser escrita como
Substituindo essa igualdade na expressão de
do passo anterior:
Ou seja, a substituição reduziu a equação complicada a uma equação diferencial muito simples:
Passo 5
Integração da equação em
e retorno às variáveis originais.
Integrando em relação a
obtemos
Integrando
onde
é a constante de integração. Voltando à definição de
,
Agora isolamos
. Elevando ambos os lados ao quadrado (com cuidado sobre possíveis restrições de sinal, que veremos a seguir):
Cancelando
dos dois lados:
Portanto
Passo 6
Condições, interpretação do sinal e casos especiais.
- Como
é não negativa, da igualdade segue a restrição
Logo as soluções só são válidas onde
.
- Além disso, o radicando deve ser não negativo:
que é equivalente à condição
(porque
, mas de forma direta vem da igualdade inicial). Assim, a condição principal a observar é
.
- O sinal
em é determinado por uma condição inicial, se houver: para um par dado, escolhe-se o sinal tal que seja obtido e a constante é
- Caso especial
: a solução fica e a restrição dá . Verificando na equação original, com satisfaz , está consistente.