Ex. 3.É possivel resolver sistemas de equações diferenciais pelo Método por eliminação, um método simples, da seguinte forma: I)Da primeira equação, isole y ( em função de dotx, x e do termo não homogêneo) II) então derive a primeira equação, e nesta expressão, substitua doty pelo que encontramos na 2^ a equação e III) persistindo uma ocorrência de y nesta última expressão, substitua o valor encontrado no passo I). Desta forma, obtenha uma equação diferencial de 2^ a ordem para x e uma expressão ( a do passo I) de y em função de dotx e x
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
d yd x+3 y+4 z & =2 x, d zd x-y-z & =x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o Método por Eliminação. O enunciado nos dá duas equações que envolvem as derivadas de $ y $ e $ z $ em relação a $ x $. Nosso objetivo é encontrar as funções $ y(x) $ e $ z(x) $ que satisfazem essas equações. Para isso, vamos seguir os passos do método por eliminação: isolar uma das variáveis, derivar, substituir e assim por diante até termos uma equação mais simples para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a variável $ y $ na primeira equação. A equação dada é:
y
Vamos rearranjar para expressar $ y $ em termos de $ \frac{dy}{dx} $, $ x $ e os outros termos:
dydx + 3y + 4z = 2x
Agora, isolamos $ y $:
y

Passo 3

Agora, vamos derivar a primeira equação em relação a $ x $. A equação original é:
x
Derivando ambos os lados:
dydx + 3y + 4z = 2x

Passo 4

Na segunda equação do sistema, temos:
dzdx - y - z = x
Podemos resolver essa equação para $ \frac{dz}{dx} $:
dzdx
Agora, substituímos $ \frac{dz}{dx} $ na equação derivada anteriormente:
dzdx = y + z + x

Passo 5

Vamos substituir o valor de $ y $ que encontramos no Passo 2 na equação acima:
y
Simplificando:
d^2ydx^2 + 3dydx + 4(2x - dydx - 4z3 + z + x) = 2
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
d^2ydx^2 + 3dydx + 8x - 4dydx - 16z3 + 4z + 4x = 2
Simplificando os termos semelhantes:
3d^2ydx^2 + 9dydx + 8x - 4dydx - 16z + 12z + 12x = 6

Passo 6

Agora, precisamos substituir $ z $ em termos de $ y $ e suas derivadas. Da equação que isolamos $ y $ no Passo 2:
z
Resolvendo para $ z $:
y
Substituindo $ z $ na equação do Passo 5:
y
Simplificando:
y = 2x - dydx - 4z3
Podemos dividir toda a equação por 3 para simplificar:
z

Passo 7

Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem para $ y $:
y
Essa é uma equação linear não homogênea que podemos resolver usando o método dos coeficientes indeterminados ou outros métodos de resolução de equações diferenciais. Para simplificar, vamos considerar a solução complementar e uma solução particular.
Solução Complementar (Homogênea):
Resolvemos a equação homogênea associada:
d^2ydx^2 + 2dydx + y = 2 - 6x
Característica da equação:
d^2ydx^2 + 2dydx + y = 0
Então, a solução complementar é:
r^2 + 2r + 1 = 0 (r + 1)^2 = 0 r = -1 (raiz dupla)
Solução Particular:
Assumimos uma solução particular na forma:
yc = (C1 + C2 x)e^-x
Derivando:
yp = A x + B
Substituindo na equação diferencial:
dypdx = A d^2ypdx^2 = 0
Comparando os coeficientes:
0 + 2A + (A x + B) = 2 - 6x A x + (2A + B) = -6x + 2
Então, a solução particular é:
A = -6 2A + B = 2 2(-6) + B = 2 -12 + B = 2 B = 14
Solução Geral:
yp = -6x + 14

Resposta

A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
y(x) = (C1 + C2 x)e^-x - 6x + 14
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que podem ser determinadas a partir de condições iniciais específicas.

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