Ex. 3.É possivel resolver sistemas de equações diferenciais pelo Método por eliminação, um método simples, da seguinte forma: I)Da primeira equação, isole y ( em função de
e do termo não homogêneo) II) então derive a primeira equação, e nesta expressão, substitua
pelo que encontramos na
equação e III) persistindo uma ocorrência de y nesta última expressão, substitua o valor encontrado no passo I). Desta forma, obtenha uma equação diferencial de
ordem para x e uma expressão ( a do passo I) de y em função de
e
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o Método por Eliminação. O enunciado nos dá duas equações que envolvem as derivadas de $ y $ e $ z $ em relação a $ x $. Nosso objetivo é encontrar as funções $ y(x) $ e $ z(x) $ que satisfazem essas equações. Para isso, vamos seguir os passos do método por eliminação: isolar uma das variáveis, derivar, substituir e assim por diante até termos uma equação mais simples para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar a variável $ y $ na primeira equação. A equação dada é:
Vamos rearranjar para expressar $ y $ em termos de $ \frac{dy}{dx} $, $ x $ e os outros termos:
Agora, isolamos $ y $:
Passo 3
Agora, vamos derivar a primeira equação em relação a $ x $. A equação original é:
Derivando ambos os lados:
Passo 4
Na segunda equação do sistema, temos:
Podemos resolver essa equação para $ \frac{dz}{dx} $:
Agora, substituímos $ \frac{dz}{dx} $ na equação derivada anteriormente:
Passo 5
Vamos substituir o valor de $ y $ que encontramos no Passo 2 na equação acima:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, precisamos substituir $ z $ em termos de $ y $ e suas derivadas. Da equação que isolamos $ y $ no Passo 2:
Resolvendo para $ z $:
Substituindo $ z $ na equação do Passo 5:
Simplificando:
Podemos dividir toda a equação por 3 para simplificar:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem para $ y $:
Essa é uma equação linear não homogênea que podemos resolver usando o método dos coeficientes indeterminados ou outros métodos de resolução de equações diferenciais. Para simplificar, vamos considerar a solução complementar e uma solução particular.
Solução Complementar (Homogênea):
Resolvemos a equação homogênea associada:
Característica da equação:
Então, a solução complementar é:
Solução Particular:
Assumimos uma solução particular na forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Solução Geral:
Resposta
A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que podem ser determinadas a partir de condições iniciais específicas.