Ex. 3.É possivel resolver sistemas de equações diferenciais pelo Método por eliminação, um método simples, da seguinte forma: I)Da primeira equação, isole y ( em função de dotx, x e do termo não homogêneo) II) então derive a primeira equação, e nesta expressão, substitua doty pelo que encontramos na 2^ a equação e III) persistindo uma ocorrência de y nesta última expressão, substitua o valor encontrado no passo I). Desta forma, obtenha uma equação diferencial de 2^ a ordem para x e uma expressão ( a do passo I) de y em função de dotx e x
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
ld xd t=y+z, d yd t=x+z, d zd t=x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o Método por Eliminação. O que a gente tem aqui é um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem envolvendo as funções $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $. Nosso objetivo é manipular essas equações para conseguir uma equação diferencial de segunda ordem só para $ x(t) $ e, depois, encontrar $ y(t) $ em termos de $ x(t) $ e sua derivada. Para isso, vamos precisar isolar variáveis e substituir entre as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na primeira equação do sistema:
dxdt = y + z
Aqui, queremos isolar $ y $ em função de $ \frac{dx}{dt} $, $ x $ e $ z $. Mas, olhando para a segunda equação:
y
Parece que podemos expressar $ y $ sem precisar de $ z $. Então, vamos reescrever a primeira equação para isolar $ y $:
dxdt

Passo 3

Agora, vamos derivar a primeira equação em relação ao tempo $ t $. Derivando ambos os lados da equação $ \frac{dx}{dt} = y + z $, temos:
t
Mas sabemos, pela segunda e terceira equações do sistema, que:
dxdt = y + z
d^2xdt^2 = dydt + dzdt
Substituindo esses resultados na equação derivada, ficamos com:
dydt = x + z

Passo 4

Lembra da expressão que encontramos para $ y $ no Passo 2? Vamos substituir isso na equação que obtivemos:
y
Simplificando, os termos com $ z $ se cancelam:
d^2xdt^2 = 2x + ( dxdt - z ) + z

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem só para $ x(t) $:
x(t)
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem, que podemos resolver encontrando as raízes da equação característica:
d^2xdt^2 - dxdt - 2x = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r^2 - r - 2 = 0

Passo 6

Com as raízes $ r = 2 $ e $ r = -1 $, a solução geral para $ x(t) $ é:
r = 2
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se forem fornecidas).

Passo 7

Agora que temos $ x(t) $, vamos encontrar $ y(t) $ usando a expressão que obtivemos no Passo 2:
x(t)
Mas precisamos de outra relação para $ z $. Vamos usar a segunda equação do sistema para expressar $ z $:
y(t)
Substituindo isso na expressão de $ y $:
y = dxdt - z
Esse passo pode ser um pouco mais elaborado dependendo das relações encontradas, mas essencialmente conseguimos relacionar $ y $ e $ z $ com $ x(t) $ e suas derivadas.

Resposta

A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
x(t) = C1 e^2t + C2 e^-t
E, a partir dessa solução, podemos determinar $ y(t) $ e $ z(t) $ utilizando as relações estabelecidas durante a resolução.

Exercícios relacionados