Ex. 3.É possivel resolver sistemas de equações diferenciais pelo Método por eliminação, um método simples, da seguinte forma: I)Da primeira equação, isole y ( em função de
e do termo não homogêneo) II) então derive a primeira equação, e nesta expressão, substitua
pelo que encontramos na
equação e III) persistindo uma ocorrência de y nesta última expressão, substitua o valor encontrado no passo I). Desta forma, obtenha uma equação diferencial de
ordem para x e uma expressão ( a do passo I) de y em função de
e
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o Método por Eliminação. O que a gente tem aqui é um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem envolvendo as funções $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $. Nosso objetivo é manipular essas equações para conseguir uma equação diferencial de segunda ordem só para $ x(t) $ e, depois, encontrar $ y(t) $ em termos de $ x(t) $ e sua derivada. Para isso, vamos precisar isolar variáveis e substituir entre as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na primeira equação do sistema:
Aqui, queremos isolar $ y $ em função de $ \frac{dx}{dt} $, $ x $ e $ z $. Mas, olhando para a segunda equação:
Parece que podemos expressar $ y $ sem precisar de $ z $. Então, vamos reescrever a primeira equação para isolar $ y $:
Passo 3
Agora, vamos derivar a primeira equação em relação ao tempo $ t $. Derivando ambos os lados da equação $ \frac{dx}{dt} = y + z $, temos:
Mas sabemos, pela segunda e terceira equações do sistema, que:
Substituindo esses resultados na equação derivada, ficamos com:
Passo 4
Lembra da expressão que encontramos para $ y $ no Passo 2? Vamos substituir isso na equação que obtivemos:
Simplificando, os termos com $ z $ se cancelam:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem só para $ x(t) $:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem, que podemos resolver encontrando as raízes da equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Passo 6
Com as raízes $ r = 2 $ e $ r = -1 $, a solução geral para $ x(t) $ é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se forem fornecidas).
Passo 7
Agora que temos $ x(t) $, vamos encontrar $ y(t) $ usando a expressão que obtivemos no Passo 2:
Mas precisamos de outra relação para $ z $. Vamos usar a segunda equação do sistema para expressar $ z $:
Substituindo isso na expressão de $ y $:
Esse passo pode ser um pouco mais elaborado dependendo das relações encontradas, mas essencialmente conseguimos relacionar $ y $ e $ z $ com $ x(t) $ e suas derivadas.
Resposta
A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
E, a partir dessa solução, podemos determinar $ y(t) $ e $ z(t) $ utilizando as relações estabelecidas durante a resolução.