Um engenheiro gestor trabalha numa fábrica de escovas de dentes. Nesta fábrica cerca de 0,8 \% das escovas são defeituosas. As escovas são vendidas em caixas com 200 unidades. Se a caixa tiver 3 ou mais escovas defeituosas o preço de venda é de 80 reais, tendo uma defeituosa o preço é de 170 reais e não tendo nenhuma defeituosa o preço é 300 reais. Qual o preço médio de cada caixa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o preço médio (esperado) por caixa:
  • A proporção de escovas defeituosas é de 0{,}8\% = 0{,}008 por escova.
  • As caixas contêm 200 escovas cada.
  • O preço de venda de uma caixa depende do número de escovas defeituosas nela: \begin{cases} \text{se houver 3 ou mais defeituosas: } & \text{preço } = 80\\ \text{reais},\\[4pt] \text{se houver 1 defeituosa: } & \text{preço } = 170\\ \text{reais},\\[4pt] \text{se não houver defeituosa: } & \text{preço } = 300\\ \text{reais}. \end{cases}ççãç
  • Pedem: valor médio (esperado) do preço de cada caixa.]

Passo 2

Observação sobre um detalhe do enunciado (assunção necessária): o enunciado enumera preços para os casos “nenhuma”, “uma” e “3 ou mais”, mas não especifica o caso “exatamente 2”. Como foi dado somente três preços, a particionamento lógico dos resultados para obter uma esperança com três termos é tratar “2 ou mais” como um mesmo grupo associado ao preço menor. Portanto, vou assumir que caixas com 2 defeituosas também recebem o preço de 80 reais — ou seja, agrupamos os casos em: 0 defeituosas, 1 defeituosa, e \ge 2 defeituosas. Essa escolha é necessária para ter uma resposta numérica única; se o prof mandasse o enunciado, provavelmente queria essas três categorias.

Passo 3

Modelagem probabilística: seja X o número de escovas defeituosas numa caixa de n=200 escovas. Como cada escova tem probabilidade p=0{,}008 de ser defeituosa, e assumindo independência entre escovas, X segue uma distribuição binomial:
X \sim \mathrm{Binomial}(n=200,\; p=0{,}008).
A fórmula da probabilidade binomial é
\Pr(X=k)=\binom{200}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{200-k},
onde \binom{200}{k} é o número de maneiras de escolher k defeituosas entre 200.

Passo 4

Justificativa para aproximação (evitar contas pesadas): calcular \Pr(X=k) exatamente com \binom{200}{k} é maçante sem calculadora. Quando n é grande, p é pequeno e \lambda = np é moderado, a binomial pode ser bem aproximada pela distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=np. Aqui:
\lambda = n p = 200 \times 0{,}008 = 1{,}6.
A aproximação de Poisson diz que, aproximadamente,
\Pr(X=k) \approx e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Isso é aceitável e padrão em problemas como este.

Passo 5

Calcular as probabilidades relevantes usando a Poisson com \lambda=1{,}6.
Primeiro a probabilidade de 0 defeituosas:
\Pr(X=0) \approx e^{-1{,}6}\,\frac{1{,}6^{0}}{0!}=e^{-1{,}6}.
Depois a probabilidade de 1 defeituosa:
\Pr(X=1) \approx e^{-1{,}6}\,\frac{1{,}6^{1}}{1!}=e^{-1{,}6}\cdot 1{,}6.
A probabilidade de 2 ou mais defeituosas (o complemento dos dois primeiros) é
\Pr(X\ge 2)=1-\Pr(X=0)-\Pr(X=1)\approx 1-e^{-1{,}6}\bigl(1+1{,}6\bigr).

Passo 6

Avaliar numericamente as expressões (usar aproximações de e^{-1{,}6}).
Sabendo que e^{-1{,}6}\approx 0{,}2018965, obtemos:
\Pr(X=0)\approx 0{,}2018965,
\Pr(X=1)\approx 0{,}2018965\times 1{,}6 \approx 0{,}3230344,
\Pr(X\ge 2)\approx 1 - 0{,}2018965 - 0{,}3230344 \approx 0{,}4750691.
(Se quiser, dá para conferir que as três somam aproximadamente 1{,}000000.)

Passo 7

Calcular o preço esperado por caixa. Se denotarmos P o preço da caixa, então
\mathbb{E}[P] = 300\cdot\Pr(X=0) + 170\cdot\Pr(X=1) + 80\cdot\Pr(X\ge 2).
Substituindo os valores aproximados:
\mathbb{E}[P] \approx 300\cdot 0{,}2018965 + 170\cdot 0{,}3230344 + 80\cdot 0{,}4750691.

Passo 8

Fazendo as multiplicações e somando:
300\cdot 0{,}2018965 \approx 60{,}56895,
170\cdot 0{,}3230344 \approx 54{,}915848,
80\cdot 0{,}4750691 \approx 38{,}005528.
Somando:
\mathbb{E}[P] \approx 60{,}56895 + 54{,}915848 + 38{,}005528 \approx 153{,}490326.

Passo 9

Conclusão numérica e arredondamento: o preço médio por caixa é aproximadamente 153{,}49 reais (arredondando para centavos).

Resposta

\text{R\$ }153{,}49

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