Um engenheiro gestor trabalha numa fábrica de escovas de dentes. Nesta fábrica cerca de 0,8 \% das escovas são defeituosas. As escovas são vendidas em caixas com 200 unidades. Se a caixa tiver 3 ou mais escovas defeituosas o preço de venda é de 80 reais, tendo uma defeituosa o preço é de 170 reais e não tendo nenhuma defeituosa o preço é 300 reais. Qual o preço médio de cada caixa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o preço médio (esperado) por caixa:
A proporção de escovas defeituosas é de 0{,}8\% = 0{,}008 por escova.
As caixas contêm 200 escovas cada.
O preço de venda de uma caixa depende do número de escovas defeituosas nela:\begin{cases} \text{se houver 3 ou mais defeituosas: } & \text{preço } = 80\\ \text{reais},\\[4pt] \text{se houver 1 defeituosa: } & \text{preço } = 170\\ \text{reais},\\[4pt] \text{se não houver defeituosa: } & \text{preço } = 300\\ \text{reais}. \end{cases}
Pedem: valor médio (esperado) do preço de cada caixa.]
Passo 2
Observação sobre um detalhe do enunciado (assunção necessária): o enunciado enumera preços para os casos “nenhuma”, “uma” e “3 ou mais”, mas não especifica o caso “exatamente 2”. Como foi dado somente três preços, a particionamento lógico dos resultados para obter uma esperança com três termos é tratar “2 ou mais” como um mesmo grupo associado ao preço menor. Portanto, vou assumir que caixas com 2 defeituosas também recebem o preço de 80 reais — ou seja, agrupamos os casos em: 0 defeituosas, 1 defeituosa, e \ge 2 defeituosas. Essa escolha é necessária para ter uma resposta numérica única; se o prof mandasse o enunciado, provavelmente queria essas três categorias.
Passo 3
Modelagem probabilística: seja X o número de escovas defeituosas numa caixa de n=200 escovas. Como cada escova tem probabilidade p=0{,}008 de ser defeituosa, e assumindo independência entre escovas, X segue uma distribuição binomial:
X \sim \mathrm{Binomial}(n=200,\; p=0{,}008).
A fórmula da probabilidade binomial é
\Pr(X=k)=\binom{200}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{200-k},
onde \binom{200}{k} é o número de maneiras de escolher k defeituosas entre 200.
Passo 4
Justificativa para aproximação (evitar contas pesadas): calcular \Pr(X=k) exatamente com \binom{200}{k} é maçante sem calculadora. Quando n é grande, p é pequeno e \lambda = np é moderado, a binomial pode ser bem aproximada pela distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=np. Aqui:
\lambda = n p = 200 \times 0{,}008 = 1{,}6.
A aproximação de Poisson diz que, aproximadamente,