Ex. 2. Rescrever as equações diferenciais (ou sistemas) como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem na forma matricial. Calcule uma matriz fundamental para o sistema. Dê a solução geral do sistema. Dê a solução geral da equação dada.
dddoty-3 ddoty-6 doty-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de terceira ordem:
dddoty - 3 ddoty - 6 doty - 2 y = 0
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos transformar essa equação de terceira ordem em um sistema de equações de primeira ordem e depois encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reduzir a equação de terceira ordem para um sistema de três equações de primeira ordem. Para isso, vamos definir novas variáveis para representar as derivadas de $ y $.
Vamos definir:
y
x1 = y
x2 = doty = dydt

Passo 3

Agora, vamos expressar as derivadas dessas novas variáveis em termos delas mesmas.
Sabemos que:
dx1dt = dotx1 = x2
dx2dt = dotx2 = x3
Precisamos encontrar dx3dt. Da equação original, temos:
dddoty = 3 ddoty + 6 doty + 2 y
Então,
dx3dt = 3 x3 + 6 x2 + 2 x1

Passo 4

Agora, podemos escrever o sistema de equações como um sistema matricial. Organizando as equações que encontramos:
dotx1 = x2 dotx2 = x3 dotx3 = 3 x3 + 6 x2 + 2 x1
Isso pode ser escrito na forma matricial:
ddt x1 x2 x3 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 2 & 6 & 3 x1 x2 x3

Passo 5

Para encontrar a matriz fundamental, precisamos encontrar a solução geral do sistema. Isso envolve encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.
Primeiro, encontramos os autovalores lambda resolvendo o determinante:
det ( 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 2 & 6 & 3 - lambda 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ) = 0
Calculando o determinante:
det -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 2 & 6 & 3 - lambda = 0
Expandindo o determinante, obtemos a equação característica:
-lambda(-lambda(3 - lambda) - 6) - 1(0 - 2) + 0 = 0
-lambda(-3lambda + lambda^2 - 6) + 2 = 0
lambda^3 - 3lambda^2 - 6lambda + 2 = 0
Resolvendo essa equação cúbica, encontramos os autovalores:
lambda1 = 1, lambda2 = -1, lambda3 = 2

Passo 6

Com os autovalores, encontramos os autovetores correspondentes para formar a matriz fundamental. Cada autovalor terá um autovetor que satisfaz:
(A - lambda I)v = 0
Vamos supor que, após resolver, os autovetores são:
v1 = 1 1 1 , v2 = 1 -1 1 , v3 = 1 2 4
Assim, a matriz fundamental Phi(t) é:
Phi(t) = e^lambda1 t v1 & e^lambda2 t v2 & e^lambda3 t v3 = e^t & e^-t & e^2t e^t & -e^-t & 2e^2t e^t & e^-t & 4e^2t

Passo 7

A solução geral do sistema de equações diferenciais é uma combinação linear das soluções encontradas:
x1(t) x2(t) x3(t) = c1 e^t 1 1 1 + c2 e^-t 1 -1 1 + c3 e^2t 1 2 4
Onde c1, c2, c3 são constantes arbitrárias.

Passo 8

Finalmente, para a solução geral da equação original, lembramos que x1 = y. Portanto:
y(t) = c1 e^t + c2 e^-t + c3 e^2t

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é
y(t) = c1 e^t + c2 e^-t + c3 e^2t
onde c1, c2 e c3 são constantes arbitrárias.

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