Ex. 2. Rescrever as equações diferenciais (ou sistemas) como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem na forma matricial. Calcule uma matriz fundamental para o sistema. Dê a solução geral do sistema. Dê a solução geral da equação dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de terceira ordem:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos transformar essa equação de terceira ordem em um sistema de equações de primeira ordem e depois encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reduzir a equação de terceira ordem para um sistema de três equações de primeira ordem. Para isso, vamos definir novas variáveis para representar as derivadas de $ y $.
Vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos expressar as derivadas dessas novas variáveis em termos delas mesmas.
Sabemos que:
Precisamos encontrar . Da equação original, temos:
Então,
Passo 4
Agora, podemos escrever o sistema de equações como um sistema matricial. Organizando as equações que encontramos:
Para encontrar a matriz fundamental, precisamos encontrar a solução geral do sistema. Isso envolve encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.
Primeiro, encontramos os autovalores lambda resolvendo o determinante: