Nos exercicios 11 a 31, calcule as integrais indefinidas.
integral raiz[3]8(t-2)^4(t+12)^3 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular uma integral indefinida com radical de índice 3. O conteúdo principal envolve propriedades de radicais e uma substituição simples para reduzir a integral a potências de uma única variável.

Passo 2

Precisamos usar que a raiz cúbica de um produto é o produto das raízes cúbicas e que o expoente se distribui:
raiz[3]8(t-2)^4l(t+tfrac12r)^3=raiz[3]8;raiz[3](t-2)^4;raiz[3]l(t+tfrac12r)^3
Como raiz[3]8=2, raiz[3](t-2)^4=(t-2)^4/3 e raiz[3](t+tfrac12)^3=t+tfrac12, a integral vira
integral2,(t-2)^4/3l(t+tfrac12r),dt

Passo 3

Para simplificar ainda mais, expandimos o fator t+tfrac12:
2,(t-2)^4/3l(t+tfrac12r)=2t,(t-2)^4/3+(t-2)^4/3
Em seguida, fazemos a substituição u=t-2, logo du=dt e t=u+2. Assim o integrando se transforma em
2(u+2)u^4/3+u^4/3=2u^7/3+5u^4/3,
passando a integral para
integrall(2u^7/3+5u^4/3r),du

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
  • Para 2u^7/3:
integral2u^7/3,du=2cdotu^10/310/3=35u^10/3
- Para 5u^4/3:
integral5u^4/3,du=5cdotu^7/37/3=157u^7/3

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original t usando u=t-2 e somamos a constante de integração +C. O resultado é
35(t-2)^10/3+157(t-2)^7/3+C

Resposta

35(t-2)^10/3+157(t-2)^7/3+C

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