(a) Normalize a função de onda.
(b) Calcule lang<= xrang<= e lang<= x^2rang<=.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de onda definida por:
psi(x)= A(1-|x|), & |x| <= 1 0, & |x|>1
Nosso objetivo aqui é:
(a) Normalizar essa função de onda.
(b) Calcular os valores esperados lang<= x rang<= e lang<= x^2 rang<=.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa normalizar uma função de onda e como calcular os valores esperados em mecânica quântica. Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar normalizando a função de onda, que é a parte (a). Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Matemáticamente, isso é feito garantindo que:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1
No nosso caso, a função psi(x) vale zero fora de |x| <= 1, então podemos simplificar a integral para esse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular |psi(x)|^2:
|psi(x)|^2 = [A(1 - |x|)]^2 = A^2(1 - |x|)^2
Então, a condição de normalização fica:
A^2 integral-1^1 (1 - |x|)^2 dx = 1
Passo 4
Para resolver a integral, vamos notar que a função (1 - |x|)^2 é simétrica em relação a x = 0. Portanto, podemos calcular de 0 a 1 e multiplicar por 2:
Agora que temos A = raiz32, a função de onda normalizada é:
psi(x)= raiz32 (1 - |x|), & |x| <= 1 0, & |x|>1
Isso resolve a parte (a).
Passo 7
Vamos para a parte (b), onde precisamos calcular lang<= x rang<= e lang<= x^2 rang<=. Em mecânica quântica, o valor esperado de uma observável O é dado por:
lang<= O rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) , O , psi(x) , dx
Como estamos lidando com funções reais, psi^*(x) = psi(x).
Passo 8
Primeiro, vamos calcular lang<= x rang<=:
lang<= x rang<= = integral-1^1 psi(x) , x , psi(x) , dx = integral-1^1 |psi(x)|^2 x , dx
Lembrando que psi(x) é uma função par (simétrica) multiplicada por x que é uma função ímpar (anti-simétrica). O produto de uma função par por uma ímpar é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero.
Passo 9
Portanto:
lang<= x rang<= = 0
Isso faz sentido físico, já que a função de onda é simétrica em torno de x = 0, então a média de x deve ser zero.