Ex.1. Seja a função de onda:
psi(x)= A(1-|x|), & |x| <= 1 0, & |x|>1
(a) Normalize a função de onda.
(b) Calcule lang<= xrang<= e lang<= x^2rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de onda definida por:
psi(x)= A(1-|x|), & |x| <= 1 0, & |x|>1
Nosso objetivo aqui é:
(a) Normalizar essa função de onda.
(b) Calcular os valores esperados lang<= x rang<= e lang<= x^2 rang<=.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa normalizar uma função de onda e como calcular os valores esperados em mecânica quântica. Vamos por partes!

Passo 2

Vamos começar normalizando a função de onda, que é a parte (a). Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Matemáticamente, isso é feito garantindo que:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1
No nosso caso, a função psi(x) vale zero fora de |x| <= 1, então podemos simplificar a integral para esse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular |psi(x)|^2:
|psi(x)|^2 = [A(1 - |x|)]^2 = A^2(1 - |x|)^2
Então, a condição de normalização fica:
A^2 integral-1^1 (1 - |x|)^2 dx = 1

Passo 4

Para resolver a integral, vamos notar que a função (1 - |x|)^2 é simétrica em relação a x = 0. Portanto, podemos calcular de 0 a 1 e multiplicar por 2:
A^2 cdot 2 integral0^1 (1 - x)^2 dx = 1

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^1 (1 - x)^2 dx = integral0^1 (1 - 2x + x^2) dx = [ x - x^2 + x^33 ]0^1 = 1 - 1 + 13 = 13
Então:
A^2 cdot 2 cdot 13 = 1 implies 23 A^2 = 1 implies A^2 = 32 implies A = raiz32

Passo 6

Agora que temos A = raiz32, a função de onda normalizada é:
psi(x)= raiz32 (1 - |x|), & |x| <= 1 0, & |x|>1
Isso resolve a parte (a).

Passo 7

Vamos para a parte (b), onde precisamos calcular lang<= x rang<= e lang<= x^2 rang<=. Em mecânica quântica, o valor esperado de uma observável O é dado por:
lang<= O rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) , O , psi(x) , dx
Como estamos lidando com funções reais, psi^*(x) = psi(x).

Passo 8

Primeiro, vamos calcular lang<= x rang<=:
lang<= x rang<= = integral-1^1 psi(x) , x , psi(x) , dx = integral-1^1 |psi(x)|^2 x , dx
Lembrando que psi(x) é uma função par (simétrica) multiplicada por x que é uma função ímpar (anti-simétrica). O produto de uma função par por uma ímpar é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero.

Passo 9

Portanto:
lang<= x rang<= = 0
Isso faz sentido físico, já que a função de onda é simétrica em torno de x = 0, então a média de x deve ser zero.

Passo 10

Agora, vamos calcular lang<= x^2 rang<=:
lang<= x^2 rang<= = integral-1^1 psi(x) , x^2 , psi(x) , dx = integral-1^1 |psi(x)|^2 x^2 , dx
Como x^2 é uma função par, o integrando será par, e podemos calcular de 0 a 1 e multiplicar por 2:
lang<= x^2 rang<= = 2 integral0^1 |psi(x)|^2 x^2 , dx = 2 A^2 integral0^1 (1 - x)^2 x^2 , dx

Passo 11

Substituindo A^2 = 32:
lang<= x^2 rang<= = 2 cdot 32 integral0^1 (1 - x)^2 x^2 , dx = 3 integral0^1 (1 - 2x + x^2) x^2 , dx
Expandindo:
= 3 integral0^1 (x^2 - 2x^3 + x^4) , dx

Passo 12

Calculando a integral termo a termo:
= 3 [ x^33 - 2x^44 + x^55 ]0^1 = 3 ( 13 - 24 + 15 ) = 3 ( 13 - 12 + 15 )
Simplificando:
= 3 ( 1030 - 1530 + 630 ) = 3 ( 130 ) = 330 = 110

Resposta

(a) A função de onda normalizada é:
psi(x)= raiz32 (1 - |x|), & |x| <= 1 0, & |x|>1
(b) Os valores esperados são:
lang<= x rang<= = 0 e lang<= x^2 rang<= = 110

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