Ex. 2 Suponha que a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X seja a seguinte:
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{3 c}{(1-x)^{1 / 2}} \quad \text { para } 0<x<1, \\\\ 0 \quad \text { caso } \text { contrário. } \end{array}\right.á
(a) Determine o valor da constante c e esboce a função densidade de probabilidade.
(b) Encontre o valor de \mathbb{P}[X \leq 1 / 2].

Passo 1

O enunciado dá a função densidade
f_{X}(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{3c}{(1-x)^{1/2}}, & 0<x<1,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
As perguntas são:
( a ) determinar o valor da constante c e esboçar a função densidade;
( b ) calcular \mathbb{P}[X\leq 1/2].
Informações relevantes fornecidas:
\,f_X(x) é positiva em 0<x<1 e igual a zero fora desse intervalo; há uma constante c a ser determinada pela condição que uma densidade deve satisfazer (integrar 1 em toda a reta). Não há outras condições externas.]

Passo 2

Conceito essencial (aula rápida): uma função f_X é densidade de probabilidade se e somente se
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1.
Aqui f_X(x)=0 fora de (0,1), logo a condição de normalização fica
\int_{0}^{1} \frac{3c}{(1-x)^{1/2}}\,dx = 1.
Vou calcular essa integral usando substituição, que é um truque padrão: coloque \,u=1-x. Então \,du=-dx. Quando x=0 tem u=1; quando x=1 tem u=0. Assim
\int_{0}^{1} (1-x)^{-1/2}\,dx = \int_{u=1}^{0} u^{-1/2}(-du) = \int_{0}^{1} u^{-1/2}\,du.
A antiderivada de u^{-1/2} é 2u^{1/2}. Avaliando de 0 a 1
\int_{0}^{1} u^{-1/2}\,du = \big[2u^{1/2}\big]_{0}^{1} = 2.

Passo 3

Voltando à normalização, temos
\int_{0}^{1} \frac{3c}{(1-x)^{1/2}}\,dx = 3c \cdot \int_{0}^{1} (1-x)^{-1/2}\,dx = 3c\cdot 2 = 6c.
Impondo que isso vale 1, obtemos
6c = 1 \quad\Rightarrow\quad c = \frac{1}{6}.

Passo 4

Agora vamos entender o formato do gráfico (esboço) da densidade com c=\tfrac{1}{6}.
Cálculo de valores e comportamento:
f_X(x)=\frac{3c}{(1-x)^{1/2}}=\frac{3\cdot\frac{1}{6}}{(1-x)^{1/2}}=\frac{1}{2(1-x)^{1/2}}.
Em x=0,
f_X(0)=\frac{1}{2(1-0)^{1/2}}=\frac{1}{2}.
Quando x\to 1^-, o denominador (1-x)^{1/2}\to 0^+, logo
\lim_{x\to 1^-} f_X(x)=+\infty,
ou seja, há uma assíntota vertical no ponto x=1 (o gráfico sobe sem limite ao se aproximar de 1 pela esquerda). Para monotonicidade, observe que a função (1-x)^{-1/2} tem derivada positiva em (0,1), então f_X é crescente no intervalo. Conclusão para o esboço: começa em \big(0,\tfrac12\big) e cresce continuamente até explodir para +\infty quando x\to1^-; é definida apenas em 0<x<1 e zero fora.

Passo 5

Agora calculamos \mathbb{P}[X\leq 1/2]. Pelo conceito de densidade,
\mathbb{P}[X\leq 1/2]=\int_{0}^{1/2} f_X(x)\,dx = \int_{0}^{1/2} \frac{1}{2(1-x)^{1/2}}\,dx.
Fatorando o 1/2,
\mathbb{P}[X\leq 1/2]=\frac{1}{2}\int_{0}^{1/2} (1-x)^{-1/2}\,dx.
Já sabemos a antiderivada: uma primitiva é -2(1-x)^{1/2}, então
\int_{0}^{1/2} (1-x)^{-1/2}\,dx = \big[-2(1-x)^{1/2}\big]_{0}^{1/2} = -2\sqrt{1-\tfrac{1}{2}} + 2\sqrt{1} = 2\big(1-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big).
Multiplicando por 1/2 obtemos
\mathbb{P}[X\leq 1/2] = \frac{1}{2}\cdot 2\big(1-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big) = 1-\frac{1}{\sqrt{2}}.
Como aproximação decimal,
1-\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,2929.

Resposta

(a) c=\dfrac{1}{6}. Esboço: para 0<x<1,
f_X(x)=\frac{1}{2(1-x)^{1/2}},
começa em f_X(0)=\tfrac{1}{2}, é crescente em (0,1) e tende a +\infty quando x\to1^- (assíntota vertical em x=1); fora de (0,1) vale 0.
(b) \mathbb{P}[X\leq 1/2]=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,2929.

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