As perguntas são:
( a ) determinar o valor da constante c e esboçar a função densidade;
( b ) calcular \mathbb{P}[X\leq 1/2].
Informações relevantes fornecidas: \,f_X(x) é positiva em 0<x<1 e igual a zero fora desse intervalo; há uma constante c a ser determinada pela condição que uma densidade deve satisfazer (integrar 1 em toda a reta). Não há outras condições externas.]
Passo 2
Conceito essencial (aula rápida): uma função f_X é densidade de probabilidade se e somente se
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1.
Aqui f_X(x)=0 fora de (0,1), logo a condição de normalização fica
\int_{0}^{1} \frac{3c}{(1-x)^{1/2}}\,dx = 1.
Vou calcular essa integral usando substituição, que é um truque padrão: coloque \,u=1-x. Então \,du=-dx. Quando x=0 tem u=1; quando x=1 tem u=0. Assim
Quando x\to 1^-, o denominador (1-x)^{1/2}\to 0^+, logo
\lim_{x\to 1^-} f_X(x)=+\infty,
ou seja, há uma assíntota vertical no ponto x=1 (o gráfico sobe sem limite ao se aproximar de 1 pela esquerda). Para monotonicidade, observe que a função (1-x)^{-1/2} tem derivada positiva em (0,1), então f_X é crescente no intervalo. Conclusão para o esboço: começa em \big(0,\tfrac12\big) e cresce continuamente até explodir para +\infty quando x\to1^-; é definida apenas em 0<x<1 e zero fora.
Passo 5
Agora calculamos \mathbb{P}[X\leq 1/2]. Pelo conceito de densidade,
começa em f_X(0)=\tfrac{1}{2}, é crescente em (0,1) e tende a +\infty quando x\to1^- (assíntota vertical em x=1); fora de (0,1) vale 0.
(b) \mathbb{P}[X\leq 1/2]=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,2929.