Ex 1 Um sinal analógico f(t) foi coletado a f_{s}=2 \mathrm{~Hz}. Para cada caso a seguir, indique duas outras funções senoidais que seriam indistinguíveis de f(t) a partir das amostras coletadas. Além disto, indique qual a frequência de amostragem mínima que deve ser utilizada para que a coleta de dados obedeça o critério de Nyquist.
f(t)=\sin (\pi t)

Passo 1

O enunciado dá a função amostrada e a taxa de amostragem e pede duas coisas:
  • Função fornecida: f(t)=\sin(\pi t).
  • Taxa de amostragem dada: f_{s}=2\\ \mathrm{Hz}.
O que é pedido:
  1. Indicar duas outras funções senoidais que seriam indistinguíveis de f(t) a partir das amostras coletadas a f_{s}=2\\ \mathrm{Hz}.
  2. Indicar a frequência de amostragem mínima que deve ser utilizada para obedecer o critério de Nyquist.

Passo 2

Entender o conceito-chave (em linguagem simples): quando um sinal contínuo é amostrado com período de amostragem T_{s}=1/f_{s}, duas senos com frequências que diferem por um múltiplo inteiro da frequência de amostragem f_{s} produzem exatamente a mesma sequência de amostras. Em fórmulas: se um seno tem frequência f_{0}, então as frequências
f = f_{0} + k f_{s},\qquad k\in\mathbb{Z},
são indistinguíveis nas amostras, porque para instantes de amostragem t=nT_{s} (com n inteiro) aparece um termo 2\pi k f_{s} nT_{s}=2\pi k n, que é um múltiplo de 2\pi e não altera o seno. Vou usar essa propriedade para construir as funções indistinguíveis.

Passo 3

Identificar a frequência do sinal dado:
  • Escrevendo f(t)=\sin(\pi t) na forma \sin(2\pi f_{0} t), temos
2\pi f_{0} = \pi \quad\Rightarrow\quad f_{0}=\frac{\pi}{2\pi}=\frac{1}{2}\\ \mathrm{Hz}=0,5\\ \mathrm{Hz}.
  • A frequência angular correspondente é \omega_{0}=\pi\\ \mathrm{rad/s}, mas aqui trabalharemos em Hz para aplicar o conceito de aliasing com f_{s}.

Passo 4

Aplicar a regra de aliasing para construir senos indistinguíveis:
  • A frequência de amostragem dada é f_{s}=2\\ \mathrm{Hz} e o período de amostragem é T_{s}=\dfrac{1}{f_{s}}=\dfrac{1}{2}\\ \mathrm{s}.
  • Tomando k=1, uma frequência indistinguível é
f_{1}=f_{0}+1\cdot f_{s}=0,5+2=2,5\\ \mathrm{Hz}.
A função correspondente é \sin(2\pi f_{1} t)=\sin(2\pi\cdot 2,5\,t)=\sin(5\pi t).
  • Tomando k=2, outra frequência indistinguível é
f_{2}=f_{0}+2\cdot f_{s}=0,5+4=4,5\\ \mathrm{Hz}.
A função correspondente é \sin(2\pi f_{2} t)=\sin(2\pi\cdot 4,5\,t)=\sin(9\pi t).

Passo 5

Verificar diretamente que as amostras coincidem (exemplo numérico breve para convencer):
  • Amostras em t=nT_{s}=n/2. Para f(t)=\sin(\pi t) temos amostra
f\!\left(\frac{n}{2}\right)=\sin\!\left(\pi\cdot\frac{n}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi n}{2}\right).
  • Para g(t)=\sin(5\pi t),
g\!\left(\frac{n}{2}\right)=\sin\!\left(5\pi\cdot\frac{n}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{5\pi n}{2}\right) =\sin\!\left(\frac{\pi n}{2}+2\pi n\right)=\sin\!\left(\frac{\pi n}{2}\right),
porque 2\pi n é múltiplo de 2\pi. Portanto as amostras coincidem para todo n.
  • Mesma verificação vale para h(t)=\sin(9\pi t), pois \dfrac{9\pi n}{2}=\dfrac{\pi n}{2}+4\pi n.

Passo 6

Determinar a frequência de amostragem mínima segundo Nyquist:
  • O critério de Nyquist (para evitar aliasing de uma banda base contendo até f_{\max}) exige
f_{s}\ge 2 f_{\max}.
  • Aqui o sinal possui apenas uma componente pura em f_{0}=0,5\\ \mathrm{Hz}, então f_{\max}=0,5\\ \mathrm{Hz} e a taxa mínima é
f_{s}^{\min}=2\cdot 0,5=1\\ \mathrm{Hz}.
(Observação prática: escolher f_{s}>1\\ \mathrm{Hz} evita problemas de amostragem exatamente no limite; o valor clássico do “Nyquist rate” é 1\\ \mathrm{Hz}.)

Resposta

\sin(5\pi t) e \sin(9\pi t)\n
f_{s}^{\min}=1\\ \mathrm{Hz}

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