Ex 1 Um sinal analógico
foi coletado a
. Para cada caso a seguir, indique duas outras funções senoidais que seriam indistinguíveis de
a partir das amostras coletadas. Além disto, indique qual a frequência de amostragem mínima que deve ser utilizada para que a coleta de dados obedeça o critério de Nyquist.
Passo 1
O enunciado dá a função amostrada e a taxa de amostragem e pede duas coisas:
- Função fornecida:
. - Taxa de amostragem dada:
.
O que é pedido:
- Indicar duas outras funções senoidais que seriam indistinguíveis de
a partir das amostras coletadas a . - Indicar a frequência de amostragem mínima que deve ser utilizada para obedecer o critério de Nyquist.
Passo 2
Entender o conceito-chave (em linguagem simples): quando um sinal contínuo é amostrado com período de amostragem
, duas senos com frequências que diferem por um múltiplo inteiro da frequência de amostragem
produzem exatamente a mesma sequência de amostras. Em fórmulas: se um seno tem frequência
, então as frequências
são indistinguíveis nas amostras, porque para instantes de amostragem
(com
inteiro) aparece um termo
, que é um múltiplo de
e não altera o seno. Vou usar essa propriedade para construir as funções indistinguíveis.
Passo 3
Identificar a frequência do sinal dado:
- Escrevendo
na forma , temos
- A frequência angular correspondente é
, mas aqui trabalharemos em Hz para aplicar o conceito de aliasing com .
Passo 4
Aplicar a regra de aliasing para construir senos indistinguíveis:
- A frequência de amostragem dada é
e o período de amostragem é . - Tomando
, uma frequência indistinguível é
A função correspondente é
.
- Tomando
, outra frequência indistinguível é
A função correspondente é
.
Passo 5
Verificar diretamente que as amostras coincidem (exemplo numérico breve para convencer):
- Amostras em
. Para temos amostra
- Para
,
porque
é múltiplo de
. Portanto as amostras coincidem para todo
.
- Mesma verificação vale para
, pois .
Passo 6
Determinar a frequência de amostragem mínima segundo Nyquist:
- O critério de Nyquist (para evitar aliasing de uma banda base contendo até
) exige
- Aqui o sinal possui apenas uma componente pura em
, então e a taxa mínima é
(Observação prática: escolher
evita problemas de amostragem exatamente no limite; o valor clássico do “Nyquist rate” é
.)