Ex. 3: Transforme as curvas dadas de coordenadas cartesianas para polares e represente-os graficamente:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: transformar a curva dada de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e representá‑la graficamente. A curva dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação explícita em cartesianas é
. - Essa é uma circunferência (já está escrita em forma centrada), com centro em
e raio (isso vem diretamente da forma dada).
A partir daqui vamos transformar para polares e estudar o comportamento para desenhar o gráfico.
Passo 2
Lembrando da definição de coordenadas polares: um ponto é dado por
onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo entre o raio‑vetor e o eixo
. As fórmulas de conversão são
Vou substituir essas expressões na equação da circunferência. Isso é o passo padrão para passar de cartesianas para polares: trocar
e
por
e
.
Passo 3
Substituindo
e
em
obtemos:
Agora vou expandir e simplificar passo a passo:
e
Somando:
Como
, juntamos os termos em
:
Isolando:
Essa é a forma polar implícita da curva: uma equação em
e
.
Passo 4
A equação que achamos,
é uma equação quadrática em
(para cada
fixo, é um polinômio de segundo grau em
). Para resolver uma quadrática
usamos a fórmula quadrática
onde o discriminante
decide se há soluções reais. Aqui
,
,
. Então:
As soluções para
são
É conveniente escrever também como
Para termos
real, precisamos de
, ou seja
Isto implica
, que ocorre para
próximos de
ou de
. Em termos de intervalos (em
) podemos dizer:
Nesses ângulos o radicando é não negativo e as fórmulas acima dão valores reais de
.
Passo 5
Interpretação geométrica das duas soluções (o “
”): para um dado
que satisfaça
a reta que sai da origem no ângulo
corta a circunferência em até dois pontos distintos — por isso aparecem as duas soluções de
. Exemplo numérico para fixar a ideia: em
temos
, então
Numericamente
e
. Esses dois
correspondem aos dois pontos da circunferência que ficam sobre o eixo
(um à direita mais afastado, outro mais próximo da origem). Verificação rápida: para
temos
e
(confere).
Passo 6
Agora explico como isso aparece no gráfico de forma simples (dica prática para a prova): a curva original é a circunferência com centro em
e raio
. Isso conseguimos ver diretamente porque a equação já estava em forma centrada
. Então no plano a circunferência:
- tem centro em
, - raio
, - abrange
entre e .
Para desenhar em coordenadas polares você pode: - usar a forma implícita
e, para vários no intervalo onde há real, calcular as duas soluções e plotar os pontos ; - ou, mais simples na prática, desenhar a circunferência em coordenadas cartesianas sabendo centro e raio (é mais rápido na prova) e lembrar que a representação polar é a equação que encontramos.
Passo 7
Pontos especiais e tangência: quando
(ou seja
) há exatamente uma solução de
— a reta em ângulo
é tangente à circunferência. As soluções ocorrem em
(mod
). Por exemplo em
temos
e o ponto é
ou seja o ponto
, que realmente pertence à circunferência (verificação:
). Isso confirma a relação entre os intervalos de
onde existe solução e a geometria da circunferência vista da origem.
Passo 8
Resumo prático para a prova (o que escrever como resposta):
- apresentar a forma polar implícita;
- apresentar a forma explícita em
com a condição do discriminante; - indicar geometricamente o centro e o raio para facilitar o desenho.
Resposta
Equação polar implícita:
Equação polar explícita:
com existência real das soluções quando
(isto é,
).
Gráfico: é a circunferência de centro
e raio
(no plano cartesiano), que em polares é descrita pelas fórmulas acima; para desenhar rapidamente desenhe a circunferência centrada em
com raio
.