Ex. 3: Transforme as curvas dadas de coordenadas cartesianas para polares e represente-os graficamente:
(x-2)^{2}+y^{2}=2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: transformar a curva dada de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e representá‑la graficamente. A curva dada é
(x-2)^{2}+y^{2}=2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação explícita em cartesianas é (x-2)^{2}+y^{2}=2.
  • Essa é uma circunferência (já está escrita em forma centrada), com centro em (2,0) e raio \sqrt{2} (isso vem diretamente da forma dada).
    A partir daqui vamos transformar para polares e estudar o comportamento para desenhar o gráfico.

Passo 2

Lembrando da definição de coordenadas polares: um ponto é dado por (r,\theta) onde r é a distância do ponto até a origem e \theta é o ângulo entre o raio‑vetor e o eixo x. As fórmulas de conversão são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Vou substituir essas expressões na equação da circunferência. Isso é o passo padrão para passar de cartesianas para polares: trocar x e y por r\cos\theta e r\sin\theta.

Passo 3

Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta em (x-2)^{2}+y^{2}=2 obtemos:
(r\cos\theta - 2)^{2} + (r\sin\theta)^{2} = 2.
Agora vou expandir e simplificar passo a passo:
(r\cos\theta - 2)^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta - 4r\cos\theta + 4,
e
(r\sin\theta)^{2} = r^{2}\sin^{2}\theta.
Somando:
r^{2}\cos^{2}\theta - 4r\cos\theta + 4 + r^{2}\sin^{2}\theta = 2.
Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, juntamos os termos em r^{2}:
r^{2} - 4r\cos\theta + 4 = 2.
Isolando:
r^{2} - 4r\cos\theta + 2 = 0.
Essa é a forma polar implícita da curva: uma equação em r e \theta.

Passo 4

A equação que achamos,
r^{2} - 4r\cos\theta + 2 = 0,
é uma equação quadrática em r (para cada \theta fixo, é um polinômio de segundo grau em r). Para resolver uma quadrática ar^{2}+br+c=0 usamos a fórmula quadrática
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde o discriminante \Delta = b^{2}-4ac decide se há soluções reais. Aqui a=1, b=-4\cos\theta, c=2. Então:
\Delta = (-4\cos\theta)^{2} - 4\cdot 1 \cdot 2 = 16\cos^{2}\theta - 8 = 8(2\cos^{2}\theta -1).
As soluções para r são
r = \frac{4\cos\theta \pm \sqrt{16\cos^{2}\theta -8}}{2} = 2\cos\theta \pm \sqrt{4\cos^{2}\theta -2}.
É conveniente escrever também como
r = 2\cos\theta \pm \sqrt{2}\,\sqrt{2\cos^{2}\theta -1}.
Para termos r real, precisamos de \Delta\ge 0, ou seja
4\cos^{2}\theta -2 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos^{2}\theta \ge \tfrac{1}{2}.
Isto implica |\cos\theta|\ge 1/\sqrt{2}, que ocorre para \theta próximos de 0 ou de \pi. Em termos de intervalos (em [0,2\pi)) podemos dizer:
\theta \in [0,\tfrac{\pi}{4}]\cup[ \tfrac{7\pi}{4},2\pi)\quad\text{e}\quad \theta\in[\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}].
Nesses ângulos o radicando é não negativo e as fórmulas acima dão valores reais de r.

Passo 5

Interpretação geométrica das duas soluções (o “ \pm”): para um dado \theta que satisfaça \Delta\ge0 a reta que sai da origem no ângulo \theta corta a circunferência em até dois pontos distintos — por isso aparecem as duas soluções de r. Exemplo numérico para fixar a ideia: em \theta=0 temos \cos 0=1, então
r = 2\pm\sqrt{2}.
Numericamente r_{1}=2+\sqrt{2}\approx 3{,}414 e r_{2}=2-\sqrt{2}\approx 0{,}586. Esses dois r correspondem aos dois pontos da circunferência que ficam sobre o eixo x (um à direita mais afastado, outro mais próximo da origem). Verificação rápida: para r_{2}\approx0{,}586 temos x=r_{2}\cos0\approx0{,}586 e (0{,}586-2)^{2}+0^{2}\approx2 (confere).

Passo 6

Agora explico como isso aparece no gráfico de forma simples (dica prática para a prova): a curva original é a circunferência com centro em (2,0) e raio \sqrt{2}. Isso conseguimos ver diretamente porque a equação já estava em forma centrada (x-2)^{2}+y^{2}=2. Então no plano a circunferência:
  • tem centro em (2,0),
  • raio =\sqrt{2}\approx1{,}414,
  • abrange x entre 2-\sqrt{2}\approx0{,}586 e 2+\sqrt{2}\approx3{,}414.
    Para desenhar em coordenadas polares você pode:
  • usar a forma implícita \;r^{2}-4r\cos\theta+2=0\; e, para vários \theta no intervalo onde há r real, calcular as duas soluções r(\theta) e plotar os pontos (r,\theta);
  • ou, mais simples na prática, desenhar a circunferência em coordenadas cartesianas sabendo centro e raio (é mais rápido na prova) e lembrar que a representação polar é a equação que encontramos.

Passo 7

Pontos especiais e tangência: quando \Delta=0 (ou seja \cos^{2}\theta=1/2) há exatamente uma solução de r — a reta em ângulo \theta é tangente à circunferência. As soluções ocorrem em \theta=\pm\tfrac{\pi}{4} (mod \pi). Por exemplo em \theta=\tfrac{\pi}{4} temos r=\sqrt{2} e o ponto é
x=r\cos\theta=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=1,\qquad y=r\sin\theta=1,
ou seja o ponto (1,1), que realmente pertence à circunferência (verificação: (1-2)^{2}+1^{2}=1+1=2). Isso confirma a relação entre os intervalos de \theta onde existe solução e a geometria da circunferência vista da origem.

Passo 8

Resumo prático para a prova (o que escrever como resposta):
  • apresentar a forma polar implícita;
  • apresentar a forma explícita em r com a condição do discriminante;
  • indicar geometricamente o centro e o raio para facilitar o desenho.

Resposta

Equação polar implícita: r^{2}-4r\cos\theta+2=0.
Equação polar explícita: r=2\cos\theta\pm\sqrt{4\cos^{2}\theta-2}, com existência real das soluções quando \cos^{2}\theta\ge \tfrac{1}{2} (isto é, |\cos\theta|\ge 1/\sqrt{2}).
Gráfico: é a circunferência de centro (2,0) e raio \sqrt{2} (no plano cartesiano), que em polares é descrita pelas fórmulas acima; para desenhar rapidamente desenhe a circunferência centrada em (2,0) com raio \sqrt{2}.

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