Ex. 2: Transforme os pontos dados de coordenadas cartesianas para polares e represente-os graficamente:
C(3,0)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: transformar o ponto dado de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e representá-lo graficamente.
Informações fornecidas: o ponto C tem coordenadas cartesianas (3,0).

Passo 2

Vou explicar a relação entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta). As fórmulas padrão são:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\theta=\operatorname{atan2}(y,x)
Aqui:
  • r é a distância do ponto até a origem (sempre r\ge 0 na escolha padrão);
  • \theta é o ângulo entre o eixo positivo x e o raio que liga a origem ao ponto, medido no sentido anti-horário;
  • \operatorname{atan2}(y,x) é a função que dá o ângulo correto considerando o quadrante onde (x,y) está (ela evita erros de sinal que ocorrem se usarmos apenas \arctan(y/x)).
Observações práticas úteis para a prova:
  • Se y=0 e x>0, então \theta=0.
  • Se y=0 e x<0, então \theta=\pi.
  • Se x=0 e y>0, então \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • Se x=0 e y<0, então \theta=-\tfrac{\pi}{2} ou \theta=\tfrac{3\pi}{2}.
    Além disso, as representações polares são múltiplas: se (r,\theta) representa o ponto, também (r,\theta+2\pi k) para inteiro k representa o mesmo ponto; e às vezes usamos r<0 com \theta ajustado (mas preferimos r\ge 0 para padrão).

Passo 3

Calcule r para o ponto dado (x,y)=(3,0). Aplicando a fórmula:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Agora calcule \theta para (x,y)=(3,0). Como y=0 e x=3>0, pela observação prática acima temos:
\theta=0.
(Usando \operatorname{atan2}(0,3)=0.)

Passo 5

Concluímos a conversão para coordenadas polares no padrão r\ge 0 e \theta em [0,2\pi):
(r,\theta)=(3,0).
Lembre-se que alternativas equivalentes são, por exemplo, (3,2\pi) ou (3,0+2\pi k) com k\in\mathbb{Z}, e também a representação com r=-3 e \theta=\pi.

Passo 6

Como representar graficamente: o ponto C fica sobre o eixo x positivo a uma distância 3 da origem. Para desenhar no papel:
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a origem O.
  2. A partir de O, siga o raio que faz ângulo \theta=0 com o eixo x (ou seja, o próprio eixo x positivo).
  3. Marque o ponto a distância r=3 do O ao longo desse eixo; esse é C. Em coordenadas cartesianas isso coincide com (3,0).

Passo 7

Dica final para a prova (ânimo!): quando y=0 ou x=0 identifique o ângulo imediatamente pelo quadrante; isso economiza cálculo. Se tiver dúvida sobre sinal do ângulo, use \operatorname{atan2}(y,x) mentalmente para saber o quadrante correto.

Resposta

(r,\theta)=(3,0)
Gráfico: ponto sobre o eixo x positivo, a distância 3 da origem (coincide com (3,0)).

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