Ex. 2: Transforme os pontos dados de coordenadas cartesianas para polares e represente-os graficamente:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: transformar o ponto dado de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e representá-lo graficamente.
Informações fornecidas: o ponto tem coordenadas cartesianas
.
Informações fornecidas: o ponto
Passo 2
Vou explicar a relação entre coordenadas cartesianas
e polares
. As fórmulas padrão são:
Aqui:
-
é a distância do ponto até a origem (sempre na escolha padrão); -
é o ângulo entre o eixo positivo e o raio que liga a origem ao ponto, medido no sentido anti-horário; -
é a função que dá o ângulo correto considerando o quadrante onde está (ela evita erros de sinal que ocorrem se usarmos apenas ).
Observações práticas úteis para a prova:
- Se
e , então . - Se
e , então . - Se
e , então . - Se
e , então ou .
Além disso, as representações polares são múltiplas: serepresenta o ponto, também para inteiro representa o mesmo ponto; e às vezes usamos com ajustado (mas preferimos para padrão).
Passo 3
Calcule
para o ponto dado
. Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora calcule
para
. Como
e
, pela observação prática acima temos:
(Usando
.)
Passo 5
Concluímos a conversão para coordenadas polares no padrão
e
em
:
Lembre-se que alternativas equivalentes são, por exemplo,
ou
com
, e também a representação com
e
.
Passo 6
Como representar graficamente: o ponto
fica sobre o eixo
positivo a uma distância
da origem. Para desenhar no papel:
- Desenhe os eixos
e e marque a origem . - A partir de
, siga o raio que faz ângulo com o eixo (ou seja, o próprio eixo positivo). - Marque o ponto a distância
do ao longo desse eixo; esse é . Em coordenadas cartesianas isso coincide com .
Passo 7
Dica final para a prova (ânimo!): quando
ou
identifique o ângulo imediatamente pelo quadrante; isso economiza cálculo. Se tiver dúvida sobre sinal do ângulo, use
mentalmente para saber o quadrante correto.
Resposta
Gráfico: ponto sobre o eixo