Ex. 2: Transforme os pontos dados de coordenadas cartesianas para polares e represente-os graficamente: D(-2,-\sqrt{3})
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o ponto D(-2,-\sqrt{3}): \n
transformar as coordenadas cartesianas dadas em coordenadas polares (ou seja, encontrar o módulo r e o ângulo \theta que representam o ponto no sistema polar); \n
indicar como representá‑lo graficamente (onde fica o ponto em relação aos eixos, qual o módulo e qual o ângulo). \n
Informações fornecidas: x=-2 e y=-\sqrt{3}. Não há outras informações extras no enunciado.
Passo 2
Relembrando as fórmulas básicas (explicação didática): \n
A relação entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta) é dada por
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Aqui r é a distância do ponto à origem (sempre não negativa se escolhermos a representação usual) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x no sentido anti‑horário. \n
Para encontrar \theta a partir de x e y usamos a razão \tan\theta=\dfrac{y}{x}, mas atenção: \arctan(y/x) retorna um ângulo no intervalo principal e pode não indicar o quadrante correto. Uma forma prática é usar a função \operatorname{atan2}(y,x) (que já ajusta o quadrante) ou calcular a referência \alpha=\arctan\big(\big|\tfrac{y}{x}\big|\big) e depois ajustar \theta conforme o sinal de x e y. Vou usar essa explicação por etapas.
Passo 3
Calcular o módulo r: \n
Substituindo x=-2 e y=-\sqrt{3} na fórmula de r,
Agora determine o quadrante do ponto: como x=-2<0 e y=-\sqrt{3}<0, o ponto está no terceiro quadrante. No terceiro quadrante o ângulo \theta medido a partir do eixo positivo x (no sentido anti‑horário) é
Observação didática: usar \operatorname{atan2}(y,x) daria diretamente \theta=\operatorname{atan2}(-\sqrt{3},-2)=\pi+\arctan(\sqrt{3}/2), então é a mesma coisa — só que \operatorname{atan2} já lida com o sinal de x e y.
Passo 5
Escrevendo a resposta polar (formas exata e aproximada) e comentando alternativas: \n
porém a convenção mais comum e clara é usar r>0 e \theta\in[0,2\pi), como fiz acima.
Passo 6
Como representá‑lo graficamente (instrução prática para desenhar na prova): \n
Desenhe os eixos x e y. \n
Marque o ponto cartesiano (-2,-\sqrt{3}): vá 2 unidades para a esquerda no eixo x e depois \sqrt{3} unidades para baixo no eixo y (eu peguei y=-\sqrt{3} dos dados do enunciado). \n
A partir da origem, desenhe um segmento (vetor) de comprimento r=\sqrt{7} que forma um ângulo \theta\approx 3,855317 radianos (aprox. 220,893^\circ) medido no sentido anti‑horário a partir do eixo positivo x. Esse vetor termina exatamente no ponto D. \n
Como checagem rápida: observe que o ponto fica no terceiro quadrante (x e y negativos) e a distância ao centro é \sqrt{7} — se seu desenho respeitar isso, está correto. \n
Força aí — você já tem o resultado exato e uma forma fácil de checar no rascunho da prova.