Ex. 2: Transforme os pontos dados de coordenadas cartesianas para polares e represente-os graficamente:
D(-2,-\sqrt{3})

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o ponto D(-2,-\sqrt{3}): \n
  1. transformar as coordenadas cartesianas dadas em coordenadas polares (ou seja, encontrar o módulo r e o ângulo \theta que representam o ponto no sistema polar); \n
  2. indicar como representá‑lo graficamente (onde fica o ponto em relação aos eixos, qual o módulo e qual o ângulo). \n
    Informações fornecidas: x=-2 e y=-\sqrt{3}. Não há outras informações extras no enunciado.

Passo 2

Relembrando as fórmulas básicas (explicação didática): \n
  • A relação entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta) é dada por
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Aqui r é a distância do ponto à origem (sempre não negativa se escolhermos a representação usual) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x no sentido anti‑horário. \n
  • Para encontrar \theta a partir de x e y usamos a razão \tan\theta=\dfrac{y}{x}, mas atenção: \arctan(y/x) retorna um ângulo no intervalo principal e pode não indicar o quadrante correto. Uma forma prática é usar a função \operatorname{atan2}(y,x) (que já ajusta o quadrante) ou calcular a referência \alpha=\arctan\big(\big|\tfrac{y}{x}\big|\big) e depois ajustar \theta conforme o sinal de x e y. Vou usar essa explicação por etapas.

Passo 3

Calcular o módulo r: \n
Substituindo x=-2 e y=-\sqrt{3} na fórmula de r,
r=\sqrt{(-2)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}.
Em valor decimal aproximado isso é
r\approx \sqrt{7}\approx 2,645751\\ .
(Deixe \sqrt{7} se preferir a forma exata — é mais bonito e exato para a prova.)

Passo 4

Determinar o ângulo \theta (passo a passo e pensando no quadrante): \n
  1. Calcule a razão \dfrac{|y|}{|x|} para obter o ângulo de referência:
\frac{|y|}{|x|}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  1. O ângulo de referência \alpha satisfaz \tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, ou seja
\alpha=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Esse \alpha não é um ângulo notório (não é \pi/6,\pi/4,\pi/3 etc.), então mantemos em forma de \arctan ou usamos aproximação numérica. Em radianos,
\alpha\approx 0,713724\quad\text{(rad)}\quad\text{ou}\quad\alpha\approx 40,893^\circ.
  1. Agora determine o quadrante do ponto: como x=-2<0 e y=-\sqrt{3}<0, o ponto está no terceiro quadrante. No terceiro quadrante o ângulo \theta medido a partir do eixo positivo x (no sentido anti‑horário) é
\theta=\pi+\alpha.
Portanto
\theta=\pi+\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Em valor decimal aproximado:
\theta\approx 3,855317\\ \text{(rad)}\quad\text{ou}\quad\theta\approx 220,893^\circ.
Observação didática: usar \operatorname{atan2}(y,x) daria diretamente \theta=\operatorname{atan2}(-\sqrt{3},-2)=\pi+\arctan(\sqrt{3}/2), então é a mesma coisa — só que \operatorname{atan2} já lida com o sinal de x e y.

Passo 5

Escrevendo a resposta polar (formas exata e aproximada) e comentando alternativas: \n
  • Forma exata (muito boa para prova):
D=\left(\,r=\sqrt{7}\;,\;\theta=\pi+\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\,\right).
  • Forma aproximada:
D\approx\bigl(2,645751\;,\;3,855317\bigr)\quad\text{(radianos)}
ou
D\approx\bigl(2,645751\;,\;220,893^\circ\bigr).
Alternativa que às vezes aparece: você também pode representar o mesmo ponto com r negativo e \theta deslocado de \pi, por exemplo
D=\bigl(-\sqrt{7},\;\arctan\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\bigr),
porém a convenção mais comum e clara é usar r>0 e \theta\in[0,2\pi), como fiz acima.

Passo 6

Como representá‑lo graficamente (instrução prática para desenhar na prova): \n
  1. Desenhe os eixos x e y. \n
  2. Marque o ponto cartesiano (-2,-\sqrt{3}): vá 2 unidades para a esquerda no eixo x e depois \sqrt{3} unidades para baixo no eixo y (eu peguei y=-\sqrt{3} dos dados do enunciado). \n
  3. A partir da origem, desenhe um segmento (vetor) de comprimento r=\sqrt{7} que forma um ângulo \theta\approx 3,855317 radianos (aprox. 220,893^\circ) medido no sentido anti‑horário a partir do eixo positivo x. Esse vetor termina exatamente no ponto D. \n
  4. Como checagem rápida: observe que o ponto fica no terceiro quadrante (x e y negativos) e a distância ao centro é \sqrt{7} — se seu desenho respeitar isso, está correto. \n
    Força aí — você já tem o resultado exato e uma forma fácil de checar no rascunho da prova.

Resposta

\displaystyle D=\left(\sqrt{7}\;,\;\pi+\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)
\displaystyle D\approx\bigl(2,645751\;,\;3,855317\bigr)

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