Determine o plano tangente aos gráfico da função f no ponto p indicado nos casos:
f(x, y)=x^2+y^3 em p=(3,1)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico da função
f(x,y)=x^2+y^3
no ponto p=(3,1).
Para isso, vamos usar derivadas parciais para obter a aproximação linear de f em torno de p.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=2x, partial fpartial y(x,y)=3y^2

Passo 3

Avalie essas derivadas e o valor de f em p=(3,1):
f(3,1)=3^2+1^3=9+1=10,
partial fpartial x(3,1)=2cdot3=6,
partial fpartial y(3,1)=3cdot1^2=3

Passo 4

A fórmula do plano tangente em (x0,y0,z0) é
z = z0 + fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)
Substituindo (x0,y0,z0)=(3,1,10) e os valores obtidos, vem
z = 10 + 6,(x-3) + 3,(y-1)
Podemos ainda simplificar essa expressão.

Resposta

z = 6x + 3y - 11

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