Ex2:
m bloco de
está preso a uma mola sem massa que possui uma constante de força de
A mola é esticada 0,40m a partir de sua posição de equilíbrio e liberada a partir do repouso.
a) Encontre a energia total do sistema e a frequência de oscilação de acordo com os cálculos clássicos.
b) Se for considerado que a energia do oscilador está quantizada, calcule o número quântico
para o sistema que oscila com essa amplitude.
m bloco de
a) Encontre a energia total do sistema e a frequência de oscilação de acordo com os cálculos clássicos.
b) Se for considerado que a energia do oscilador está quantizada, calcule o número quântico
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
a mola é esticada até a amplitude
e liberada a partir do repouso.
Perguntas:
(a) Encontrar a energia total do sistema e a frequência de oscilação usando cálculos clássicos.
(b) Se a energia do oscilador estiver quantizada (os níveis do oscilador harmônico quântico), calcular o número quântico correspondente àquela energia (ou seja, o
tal que o nível de energia quântico coincide com a energia clássica para essa amplitude).
(a) Encontrar a energia total do sistema e a frequência de oscilação usando cálculos clássicos.
(b) Se a energia do oscilador estiver quantizada (os níveis do oscilador harmônico quântico), calcular o número quântico
Passo 2
Explicando a física clássica e calculando a energia total: quando a massa é solta a partir do repouso na amplitude
, toda a energia mecânica inicial é energia potencial elástica da mola. A fórmula da energia potencial elástica é
onde
é a constante da mola (unidade
),
é a amplitude (unidade
), e o fator
vem da integração da força da mola
. Como não há energia cinética no instante inicial (repouso), a energia total clássica do oscilador é
Substituindo os números:
Calcule passo a passo:
. Multiplicando,
. Finalmente
. Logo
Passo 3
Explicando a frequência (e frequência angular): o movimento do oscilador massa-mola obedece à equação
cuja solução é harmônica com frequência angular
Aqui
é a frequência angular em rad/s; a frequência normal
em Hz relaciona-se por
. Agora calculamos
com os dados:
Calculando a raiz:
Passo 4
Calcule a frequência
:
Como
, temos
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
Passo 5
Agora a parte quântica: níveis de energia do oscilador harmônico quântico. A fórmula para os níveis de energia é
onde
é a constante de Planck reduzida (
), e
é o número quântico (inteiro não-negativo). Aqui
tem valor numérico
Para encontrar
correspondente à energia clássica
calculada no Passo 2, igualamos
Rearranjando para
,
Passo 6
Calcule
numericamente. Usando
e
,
Agora calcule o quociente
:
Subtraindo
(irrelevante na escala gigantesca), obtemos
Como
deve ser inteiro, isso significa que o nível quântico correspondente tem um índice da ordem de
— ou seja, um número absurdamente grande.
Passo 7
Interpretação final curta (didática): o resultado mostra que a energia clássica de
corresponde a um nível quântico com
da ordem de
. Isso explica por que osciladores macroscópicos (como uma massa de
presa a uma mola) se comportam classicamente: os níveis quânticos são tão densos (muito próximos uns dos outros) que a energia parece contínua. Se quiséssemos ver efeitos de quantização, precisaríamos de massas e energias extremamente pequenas (escala atômica).
Resposta
(a)
,
(b)
(b)