Ex2:
m bloco de 2,0 \mathrm{Kg} está preso a uma mola sem massa que possui uma constante de força de k=25 \mathrm{~N} / \mathrm{m} A mola é esticada 0,40m a partir de sua posição de equilíbrio e liberada a partir do repouso.
a) Encontre a energia total do sistema e a frequência de oscilação de acordo com os cálculos clássicos.
b) Se for considerado que a energia do oscilador está quantizada, calcule o número quântico n para o sistema que oscila com essa amplitude.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
m=2{,}0\\ \mathrm{kg},
k=25\\ \mathrm{N/m},
a mola é esticada até a amplitude
A=0{,}40\\ \mathrm{m},
e liberada a partir do repouso.
Perguntas:
(a) Encontrar a energia total do sistema e a frequência de oscilação usando cálculos clássicos.
(b) Se a energia do oscilador estiver quantizada (os níveis do oscilador harmônico quântico), calcular o número quântico n correspondente àquela energia (ou seja, o n tal que o nível de energia quântico coincide com a energia clássica para essa amplitude).

Passo 2

Explicando a física clássica e calculando a energia total: quando a massa é solta a partir do repouso na amplitude A, toda a energia mecânica inicial é energia potencial elástica da mola. A fórmula da energia potencial elástica é
U_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}kA^{2},
onde k é a constante da mola (unidade \mathrm{N/m}), A é a amplitude (unidade \mathrm{m}), e o fator \tfrac{1}{2} vem da integração da força da mola F=-kx. Como não há energia cinética no instante inicial (repouso), a energia total clássica do oscilador é
E_{\text{cl}}=\tfrac{1}{2}kA^{2}.
Substituindo os números:
E_{\text{cl}}=\tfrac{1}{2}\cdot25\cdot(0{,}40)^{2}.
Calcule passo a passo: (0{,}40)^{2}=0{,}1600. Multiplicando, 25\cdot0{,}1600=4{,}0. Finalmente \tfrac{1}{2}\cdot4{,}0=2{,}0. Logo
E_{\text{cl}}=2{,}0\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Explicando a frequência (e frequência angular): o movimento do oscilador massa-mola obedece à equação
m\ddot{x}+kx=0,
cuja solução é harmônica com frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui \omega é a frequência angular em rad/s; a frequência normal f em Hz relaciona-se por f=\dfrac{\omega}{2\pi}. Agora calculamos \omega com os dados:
\omega=\sqrt{\frac{25}{2{,}0}}=\sqrt{12{,}5}.
Calculando a raiz:
\omega\approx3{,}5355339\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcule a frequência f:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3{,}5355339}{2\pi}.
Como 2\pi\approx6{,}2831853, temos
f\approx0{,}5623413\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
f\approx0{,}562\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Agora a parte quântica: níveis de energia do oscilador harmônico quântico. A fórmula para os níveis de energia é
E_{n}=\hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right),
onde \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar=\dfrac{h}{2\pi}), e n é o número quântico (inteiro não-negativo). Aqui \hbar tem valor numérico
\hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Para encontrar n correspondente à energia clássica E_{\text{cl}} calculada no Passo 2, igualamos
E_{\text{cl}}=\hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right).
Rearranjando para n,
n=\frac{E_{\text{cl}}}{\hbar\omega}-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Calcule \hbar\omega numericamente. Usando \hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} e \omega\approx3{,}5355339\\ \mathrm{rad/s},
\hbar\omega=(1{,}054571817\times10^{-34})\cdot(3{,}5355339) \approx3{,}73\times10^{-34}\\ \mathrm{J}.
Agora calcule o quociente E_{\text{cl}}/(\hbar\omega):
\frac{E_{\text{cl}}}{\hbar\omega}=\frac{2{,}0}{3{,}73\times10^{-34}} \approx5{,}36\times10^{33}.
Subtraindo \tfrac{1}{2} (irrelevante na escala gigantesca), obtemos
n\approx5{,}36\times10^{33}-0{,}5\approx5{,}36\times10^{33}.
Como n deve ser inteiro, isso significa que o nível quântico correspondente tem um índice da ordem de 10^{33} — ou seja, um número absurdamente grande.

Passo 7

Interpretação final curta (didática): o resultado mostra que a energia clássica de 2{,}0\\ \mathrm{J} corresponde a um nível quântico com n da ordem de 10^{33}. Isso explica por que osciladores macroscópicos (como uma massa de 2{,}0\\ \mathrm{kg} presa a uma mola) se comportam classicamente: os níveis quânticos são tão densos (muito próximos uns dos outros) que a energia parece contínua. Se quiséssemos ver efeitos de quantização, precisaríamos de massas e energias extremamente pequenas (escala atômica).

Resposta

(a) E_{\text{total}}=2{,}0\\ \mathrm{J}, \;f\approx0{,}562\\ \mathrm{Hz}.
(b) n\approx5{,}36\times10^{33}.

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