ex1: \left\{\begin{array}{l}2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 y=g(t) \\\\ 4(0)=0 ; y^{\prime}(0)=0 .\end{array}\right. sendo g(t)=\left\{\begin{array}{l}1,5 \leqslant t \leqslant 20 \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.á
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais seguintes:
2 y''(t) + y'(t) + 2 y(t) = g(t)
com as condições iniciais que interpretarei como
y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
A força externa g(t)\) é a função em degrau entre \(t=1{,}5\) e \(t=20\):
\[g(t)=\begin{cases} 1, & 1{,}5\le t\le 20,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
O objetivo é encontrar a solução y(t)\] para \(t\ge 0.]
Passo 2
Escolho usar transformada de Laplace porque ela lida muito bem com condições iniciais nulas e com forçamentos escritos com funções degrau (Heaviside). Vou:
escrever g(t) em termos de funções degrau,
aplicar a transformada de Laplace na ODE (usando as fórmulas para derivadas),
resolver algébrica e inverter a transformada por fracionamento parcial + teorema do deslocamento no tempo (shift).
Vou explicar cada fórmula que uso quando ela aparecer, para você entender direitinho.
Passo 3
Representação com Heaviside. A função degrau unitária centrada em a é \,u(t-a)\, (também chamada H(t-a)) e vale 0 para t<a e 1 para t>a. Assim
Aplicando a propriedade de deslocamento na inversa da Laplace: uma expressão e^{-a s}F(s) no domínio de s corresponde a u(t-a)f(t-a) no tempo, onde f é a inversa de F. Assim podemos escrever