Exercício 39. Nos cursos de cálculo o domínio das funções trigonométricas é sempre dado em radianos. Quando graus são usados, as derivadas das funções trigonométricas contém um fator extra o que é uma desvantagem principalmente se precisarmos derivar repetidamente. Lembrando que
radianos, encontre
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
em relação a
.
Informações dadas que vamos usar:
(conversão de graus para radianos).
A pergunta explícita é: encontre .
Informações dadas que vamos usar:
A pergunta explícita é: encontre
Passo 2
Escrevemos a função substituindo a medida em graus pela medida em radianos (essa substituição é obrigatória porque as derivadas trigonométricas padrão usam radianos). Assim:
Para ficar claro, aqui a função é composição:
é a função externa e
é a função interna.
Passo 3
Vamos lembrar a regra que precisamos: quando temos uma composição
, a derivada é dada pela regra da cadeia:
Isto significa "deriva-se a função externa
avaliando em
e multiplica-se pela derivada da função interna
". Não assuma nada: é só isso — derivada da externa vezes derivada da interna.
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia ao nosso caso. Primeiro identifique:
Sabemos a derivada da função seno (quando o argumento está em radianos):
Aqui
é uma variável qualquer; quando avaliamos em
fica
.
Passo 5
Agora calculamos a derivada da função interna
. Como
é uma constante multiplicando
, sua derivada é a constante:
Isto vem da regra básica
para constante
.
Passo 6
Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
Podemos escrever em ordem mais usual:
Interpretação rápida: o fator
aparece por causa da conversão de graus para radianos — é o “preço” de usar graus dentro das funções trigonométricas na diferenciação.