Exercício 39. Nos cursos de cálculo o domínio das funções trigonométricas é sempre dado em radianos. Quando graus são usados, as derivadas das funções trigonométricas contém um fator extra o que é uma desvantagem principalmente se precisarmos derivar repetidamente. Lembrando que x^{\circ}=\frac{1}{180} \pi x radianos, encontre \frac{d}{d x}\left(\operatorname{sen}\left(x^{\circ}\right)\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \operatorname{sen}\left(x^{\circ}\right) em relação a x.
Informações dadas que vamos usar:
\;x^{\circ}=\dfrac{1}{180}\pi x (conversão de graus para radianos).
A pergunta explícita é: encontre \dfrac{d}{d x}\left(\operatorname{sen}\left(x^{\circ}\right)\right).

Passo 2

Escrevemos a função substituindo a medida em graus pela medida em radianos (essa substituição é obrigatória porque as derivadas trigonométricas padrão usam radianos). Assim:
\operatorname{sen}\left(x^{\circ}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{180}x\right).
Para ficar claro, aqui a função é composição: \operatorname{sen} é a função externa e u(x)=\dfrac{\pi}{180}x é a função interna.

Passo 3

Vamos lembrar a regra que precisamos: quando temos uma composição f(x)=g(u(x)), a derivada é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}g(u(x))=g'(u(x))\cdot u'(x).
Isto significa "deriva-se a função externa g avaliando em u(x) e multiplica-se pela derivada da função interna u(x)". Não assuma nada: é só isso — derivada da externa vezes derivada da interna.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia ao nosso caso. Primeiro identifique:
g(t)=\operatorname{sen}(t)\quad\text{e}\quad u(x)=\frac{\pi}{180}x.
Sabemos a derivada da função seno (quando o argumento está em radianos):
\frac{d}{dt}\operatorname{sen}(t)=\cos(t).
Aqui t é uma variável qualquer; quando avaliamos em u(x) fica \cos(u(x)).

Passo 5

Agora calculamos a derivada da função interna u(x). Como u(x)=\dfrac{\pi}{180}x é uma constante multiplicando x, sua derivada é a constante:
u'(x)=\frac{\pi}{180}.
Isto vem da regra básica \dfrac{d}{dx}(a x)=a para constante a.

Passo 6

Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{180}x\right) =\cos\!\left(\frac{\pi}{180}x\right)\cdot\frac{\pi}{180}.
Podemos escrever em ordem mais usual:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\!\left(x^{\circ}\right)=\frac{\pi}{180}\cos\!\left(\frac{\pi}{180}x\right).
Interpretação rápida: o fator \dfrac{\pi}{180} aparece por causa da conversão de graus para radianos — é o “preço” de usar graus dentro das funções trigonométricas na diferenciação.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{180}\cos\!\left(\frac{\pi}{180}x\right)

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