Sejam f,g e h funções diferenciáveis. Encontre uma expressão para a derivada da função:
(f \circ g \circ h)(x)

Passo 1

O enunciado dá que f, g e h são funções diferenciáveis e pede uma expressão para a derivada da função composta (f\circ g\circ h)(x).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • As funções f, g e h são diferenciáveis (ou seja, têm derivada em todos os pontos considerados).
  • A função composta que queremos derivar é (f\circ g\circ h)(x)=f\bigl(g\bigl(h(x)\bigr)\bigr).
    O que precisamos entregar: uma expressão que dê \dfrac{d}{dx}\bigl(f(g(h(x)))\bigr) em termos das derivadas de f, g e h.

Passo 2

Ideia central (sem provar formalmente ainda): a derivada de uma composição ocorre “multiplicando” as taxas de variação internas — isto é, aplicamos a regra da cadeia. Vamos construir isso passo a passo: primeiro lembramos a regra da cadeia para duas funções e depois aplicamos duas vezes para a composição tripla.

Passo 3

Regra da cadeia para duas funções (intuição com incrementos): seja F(x)=f(g(x)). Para um pequeno incremento \Delta x temos
\Delta F = f\bigl(g(x+\Delta x)\bigr)-f\bigl(g(x)\bigr).
Como f é diferenciável em g(x), para \Delta x pequeno podemos aproximar
\Delta F \approx f'\bigl(g(x)\bigr)\,\bigl(g(x+\Delta x)-g(x)\bigr).
Dividindo por \Delta x e tomando limite \Delta x\to 0 obtemos
\frac{\Delta F}{\Delta x}\to f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Portanto, a regra da cadeia (para duas funções) é
\bigl(f\circ g\bigr)'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Aqui f'\bigl(g(x)\bigr) significa: calcular a derivada de f e avaliar essa derivada no ponto g(x); e g'(x) é a derivada de g em x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em duas etapas à composição tripla: defina primeiro
u(x)=g\bigl(h(x)\bigr).
Então (f\circ g\circ h)(x)=f\bigl(u(x)\bigr). Usando a regra da cadeia para f\circ u temos
\frac{d}{dx}f\bigl(u(x)\bigr)=f'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Mas u(x)=g(h(x)) também é uma composição; aplicando a regra da cadeia a u obtemos
u'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\,h'(x).
Substituindo u'(x) na expressão anterior segue

Passo 5

Multiplicando os fatores e reescrevendo com u(x)=g(h(x)) obtemos a fórmula final:
\frac{d}{dx}\bigl(f(g(h(x)))\bigr)=f'\bigl(g(h(x))\bigr)\;g'\bigl(h(x)\bigr)\;h'(x).
Explicando cada termo:
  • f'\bigl(g(h(x))\bigr) é a derivada de f avaliada no ponto g(h(x)), isto é, depois de aplicar h e g.
  • g'\bigl(h(x)\bigr) é a derivada de g avaliada em h(x).
  • h'(x) é a derivada de h em x.
    A ordem da multiplicação importa pouco (é comutativa), mas a avaliação deve acontecer conforme escrito: cada derivada é avaliada no seu argumento apropriado.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar (bem prático): tome f(u)=u^{2}, g(v)=\sin v, h(x)=x^{3}. As derivadas são f'(u)=2u, g'(v)=\cos v, h'(x)=3x^{2}. Aplicando a fórmula:
\frac{d}{dx}f(g(h(x)))=2\bigl(g(h(x))\bigr)\cdot \cos\bigl(h(x)\bigr)\cdot 3x^{2}.
Substituindo g(h(x))=\sin(x^{3}) e h(x)=x^{3} obtém-se
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(x^{3})\bigr)^{2}=2\sin(x^{3})\cdot \cos(x^{3})\cdot 3x^{2}=6x^{2}\sin(x^{3})\cos(x^{3}).
Isso mostra na prática como usar a fórmula passo a passo — você primeiro diferencia cada função e depois avalia/combina conforme a regra da cadeia.

Passo 7

Resumo e incentivo: a regra é simplesmente aplicar a cadeia sucessivas vezes — pense em “derivar a função externa e multiplicar pelas derivadas das internas, avaliadas no ponto certo”. Você já consegue aplicar isso na prova: identifique a ordem interna-externa, calcule cada derivada e multiplique. Vai dar certo — respira e pratica um ou dois exemplos rápidos!

Resposta

\bigl(f\circ g\circ h\bigr)'(x)=f'\bigl(g(h(x))\bigr)\;g'\bigl(h(x)\bigr)\;h'(x).

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