Sejam f,g e h funções diferenciáveis. Encontre uma expressão para a derivada da função:
Passo 1
O enunciado dá que
,
e
são funções diferenciáveis e pede uma expressão para a derivada da função composta
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- As funções
, e são diferenciáveis (ou seja, têm derivada em todos os pontos considerados). - A função composta que queremos derivar é
.
O que precisamos entregar: uma expressão que dêem termos das derivadas de , e .
Passo 2
Ideia central (sem provar formalmente ainda): a derivada de uma composição ocorre “multiplicando” as taxas de variação internas — isto é, aplicamos a regra da cadeia. Vamos construir isso passo a passo: primeiro lembramos a regra da cadeia para duas funções e depois aplicamos duas vezes para a composição tripla.
Passo 3
Regra da cadeia para duas funções (intuição com incrementos): seja
. Para um pequeno incremento
temos
Como
é diferenciável em
, para
pequeno podemos aproximar
Dividindo por
e tomando limite
obtemos
Portanto, a regra da cadeia (para duas funções) é
Aqui
significa: calcular a derivada de
e avaliar essa derivada no ponto
; e
é a derivada de
em
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia em duas etapas à composição tripla: defina primeiro
Então
. Usando a regra da cadeia para
temos
Mas
também é uma composição; aplicando a regra da cadeia a
obtemos
Substituindo
na expressão anterior segue
Passo 5
Multiplicando os fatores e reescrevendo com
obtemos a fórmula final:
Explicando cada termo:
-
é a derivada de avaliada no ponto , isto é, depois de aplicar e . -
é a derivada de avaliada em . -
é a derivada de em .
A ordem da multiplicação importa pouco (é comutativa), mas a avaliação deve acontecer conforme escrito: cada derivada é avaliada no seu argumento apropriado.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar (bem prático): tome
,
,
. As derivadas são
,
,
. Aplicando a fórmula:
Substituindo
e
obtém-se
Isso mostra na prática como usar a fórmula passo a passo — você primeiro diferencia cada função e depois avalia/combina conforme a regra da cadeia.
Passo 7
Resumo e incentivo: a regra é simplesmente aplicar a cadeia sucessivas vezes — pense em “derivar a função externa e multiplicar pelas derivadas das internas, avaliadas no ponto certo”. Você já consegue aplicar isso na prova: identifique a ordem interna-externa, calcule cada derivada e multiplique. Vai dar certo — respira e pratica um ou dois exemplos rápidos!