Expresse
em termos de derivadas parciais de
, sendo
dada por:
e
Passo 1
O enunciado dá a função
(função de
) definida por
com as relações entre
e
:
O que se pede: calcular a derivada
e expressá‑la somente em termos de derivadas parciais de
(avaliadas em
). Não precisamos de valores numéricos, apenas a expressão simbólica.
Passo 2
Vamos lembrar as regras que vamos usar (de forma prática, sem jargões difíceis):
- Regra do produto: se
então . - Regra da cadeia para funções compostas: se
onde é função de duas variáveis, então
Aqui vamos aplicar a cadeia a
e a
. Notação:
é
,
é
, etc. Assumimos que
é suficientemente regular para que todas essas derivadas existam.
Passo 3
Calcule as derivadas de
e
(porque a cadeia precisa delas):
Passo 4
Derivamos o primeiro termo de
:
Pela regra do produto,
Agora aplicamos a regra da cadeia à derivada de
:
Substituindo
e
obtemos
onde todas as derivadas parciais estão avaliadas em
. Para abreviar, omitiremos repetir a avaliação em cada termo até juntar tudo, mas fique sabendo que todos os
são avaliados em
.
Passo 5
Derivamos o segundo termo de
:
Pela regra do produto,
Aplicando a regra da cadeia à derivada de
,
Substituindo
e
dá
Passo 6
Somando as derivadas dos dois termos (i) e (ii), obtemos
:
Lembre que todas as parcelas
são avaliadas em
.
Passo 7
Se
for suficientemente suave (por exemplo
), as derivadas mistas de ordens diferentes com permutações coincidem. Assim podemos usar
Substituindo e juntando termos semelhantes obtemos uma forma mais compacta: