Expresse g^{\prime}(\dot{t}) em termos de derivadas parciais de f, sendo g dada por:
2 t \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x, y)+\cos t \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(x, y), x=t^{2} e y=\operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado dá a função g (função de t) definida por
g(t)=2t\;\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)+\cos t\;\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y),
com as relações entre x,y e t:
x=t^{2},\qquad y=\sin t.
O que se pede: calcular a derivada g'(t) e expressá‑la somente em termos de derivadas parciais de f (avaliadas em (x,y)=(t^{2},\sin t)). Não precisamos de valores numéricos, apenas a expressão simbólica.

Passo 2

Vamos lembrar as regras que vamos usar (de forma prática, sem jargões difíceis):
  • Regra do produto: se h(t)=u(t)\,v(t) então h'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
  • Regra da cadeia para funções compostas: se H(t)=F(x(t),y(t)) onde F é função de duas variáveis, então
\frac{d}{dt}F(x(t),y(t))=\frac{\partial F}{\partial x}(x(t),y(t))\,x'(t)+\frac{\partial F}{\partial y}(x(t),y(t))\,y'(t).
Aqui vamos aplicar a cadeia a F=f_{xx} e a F=f_{yx}. Notação: f_{xx} é \partial^{2}f/\partial x^{2}, f_{xxy} é \partial^{3}f/\partial x^{2}\partial y, etc. Assumimos que f é suficientemente regular para que todas essas derivadas existam.

Passo 3

Calcule as derivadas de x(t) e y(t) (porque a cadeia precisa delas):
x(t)=t^{2}\implies x'(t)=2t,
y(t)=\sin t\implies y'(t)=\cos t.

Passo 4

Derivamos o primeiro termo de g(t):
\text{(i)}\qquad 2t\;f_{xx}(x(t),y(t)).
Pela regra do produto,
\frac{d}{dt}\big(2t\,f_{xx}(x(t),y(t))\big)=2\,f_{xx}(x(t),y(t))+2t\;\frac{d}{dt}f_{xx}(x(t),y(t)).
Agora aplicamos a regra da cadeia à derivada de f_{xx}(x(t),y(t)):
\frac{d}{dt}f_{xx}(x(t),y(t))=f_{xxx}(x(t),y(t))\,x'(t)+f_{xxy}(x(t),y(t))\,y'(t).
Substituindo x'(t)=2t e y'(t)=\cos t obtemos
\frac{d}{dt}\big(2t\,f_{xx}\big)=2\,f_{xx}+2t\big( f_{xxx}\cdot 2t + f_{xxy}\cdot\cos t\big),
onde todas as derivadas parciais estão avaliadas em (x,y)=(t^{2},\sin t). Para abreviar, omitiremos repetir a avaliação em cada termo até juntar tudo, mas fique sabendo que todos os f_{\cdot} são avaliados em (t^{2},\sin t).

Passo 5

Derivamos o segundo termo de g(t):
\text{(ii)}\qquad \cos t\;f_{yx}(x(t),y(t)).
Pela regra do produto,
\frac{d}{dt}\big(\cos t\,f_{yx}(x(t),y(t))\big)=-\sin t\,f_{yx}(x(t),y(t))+\cos t\;\frac{d}{dt}f_{yx}(x(t),y(t)).
Aplicando a regra da cadeia à derivada de f_{yx},
\frac{d}{dt}f_{yx}(x(t),y(t))=f_{yxx}(x(t),y(t))\,x'(t)+f_{yxy}(x(t),y(t))\,y'(t).
Substituindo x'(t)=2t e y'(t)=\cos t
\frac{d}{dt}\big(\cos t\,f_{yx}\big)=-\sin t\,f_{yx}+\cos t\big(f_{yxx}\cdot 2t + f_{yxy}\cdot\cos t\big).

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos (i) e (ii), obtemos g'(t):
\begin{aligned} g'(t)={}&2\,f_{xx}+2t\big( f_{xxx}\cdot 2t + f_{xxy}\cdot\cos t\big)\\\ &\quad -\sin t\,f_{yx}+\cos t\big(f_{yxx}\cdot 2t + f_{yxy}\cdot\cos t\big). \end{aligned}
Lembre que todas as parcelas f_{\ldots} são avaliadas em (x,y)=(t^{2},\sin t).

Passo 7

Se f for suficientemente suave (por exemplo C^{3}), as derivadas mistas de ordens diferentes com permutações coincidem. Assim podemos usar
f_{yx}=f_{xy},\qquad f_{yxx}=f_{xxy},\qquad f_{yxy}=f_{xyy}.
Substituindo e juntando termos semelhantes obtemos uma forma mais compacta:
\begin{aligned} g'(t)={}&2\,f_{xx}(t^{2},\sin t)+4t^{2}\,f_{xxx}(t^{2},\sin t)\\\ &\;{}+4t\cos t\,f_{xxy}(t^{2},\sin t)-\sin t\,f_{xy}(t^{2},\sin t)\\\ &\;{}+\cos^{2}t\,f_{xyy}(t^{2},\sin t). \end{aligned}

Resposta

g'(t)=2\,f_{xx}(t^{2},\sin t)+4t^{2}\,f_{xxx}(t^{2},\sin t)+4t\cos t\,f_{xxy}(t^{2},\sin t)-\sin t\,f_{xy}(t^{2},\sin t)+\cos^{2}t\,f_{xyy}(t^{2},\sin t)

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