Ex15. O Departamento de Comércio Exterior de um determinado Banco possui 30 funcionários com a seguinte distribuição salarial, em reais. Com a crise financeira atual, o banco necessita demitir alguns funcionários.
Salários (em
reais)
Número de
funcionários
2000
10
3600
12
4000
5
6000
3
Total
30
a) Calcule a média, a mediana e o Q3 dos salários deste grupo de funcionários.
b) Quantos funcionários que recebem \mathrm{R} \ 3.600,00devem ser demitidos para que a mediana da variável salário seja igual a\mathrm{R} $2.800,00$ ?
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de salários de 30 funcionários em quatro patamares:
Pede-se (a) a média, a mediana e o terceiro quartil Q_3 e (b) quantos dos que ganham R$3 600 devem ser demitidos para que a mediana passe a ser R$ 2 800.
Passo 2
Para a média, somamos todos os salários e dividimos por 30. A soma ponderada é
Como n=30 é par, a mediana é a média entre as observações de posição 15 e 16. Ambas caem no bloco dos R$ 3 600, logo
\text{mediana}=3600.
Passo 4
Para Q_3 (o ponto que deixa 75 % dos dados abaixo), podemos usar a fórmula (3/4)(n+1)=23{,}25-ésima observação, ou considerar a mediana da metade superior (posições 16 a 30). Em qualquer abordagem, o valor em torno da posição 23 é
Q_3=4000.
Passo 5
Agora (b): queremos que a nova mediana seja R$ 2 800, ou seja
2800=\frac{2000+3600}{2}.
Isso só ocorre se, na lista ordenada, a posição central caia entre o último R$2 000 e o primeiro R$ 3 600. Chamando de k o número de demissões entre os que ganham R$3 600, o total passa a ser 30-k. Como queremos que o par central seja posições \tfrac{30-k}{2} e \tfrac{30-k}{2}+1 iguais a R$ 2 000 e R$ 3 600, precisamos de