Ex15. O Departamento de Comércio Exterior de um determinado Banco possui 30 funcionários com a seguinte distribuição salarial, em reais. Com a crise financeira atual, o banco necessita demitir alguns funcionários.
Salários (em
reais)
Número de
funcionários
2000 10
3600 12
4000 5
6000 3
Total 30
a) Calcule a média, a mediana e o Q3 dos salários deste grupo de funcionários.
b) Quantos funcionários que recebem \mathrm{R} \ 3.600,00 devem ser demitidos para que a mediana da variável salário seja igual aáá\mathrm{R} $2.800,00$ ?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de salários de 30 funcionários em quatro patamares:
\begin{array}{c|c} \text{Salário (R\$)} & \text{Número de funcionários} \\hline 2000 & 10\\\\ 3600 & 12\\\\ 4000 & 5\\\\ 6000 & 3 \end{array}áúá
Pede-se (a) a média, a mediana e o terceiro quartil Q_3 e (b) quantos dos que ganham R$3 600 devem ser demitidos para que a mediana passe a ser R$ 2 800.

Passo 2

Para a média, somamos todos os salários e dividimos por 30. A soma ponderada é
10\cdot2000 \;+\;12\cdot3600\;+\;5\cdot4000\;+\;3\cdot6000 =20000+43200+20000+18000=101200.
Logo a média é
\bar x=\frac{101200}{30}\approx3373{,}33.

Passo 3

Para a mediana, listamos os 30 salários em ordem crescente. As posições vão de 1 a 30 com
\underbrace{2000,\dots,2000}_{10},\; \underbrace{3600,\dots,3600}_{12},\; \underbrace{4000,\dots,4000}_{5},\; \underbrace{6000,\dots,6000}_{3}.
Como n=30 é par, a mediana é a média entre as observações de posição 15 e 16. Ambas caem no bloco dos R$ 3 600, logo
\text{mediana}=3600.

Passo 4

Para Q_3 (o ponto que deixa 75 % dos dados abaixo), podemos usar a fórmula (3/4)(n+1)=23{,}25-ésima observação, ou considerar a mediana da metade superior (posições 16 a 30). Em qualquer abordagem, o valor em torno da posição 23 é
Q_3=4000.

Passo 5

Agora (b): queremos que a nova mediana seja R$ 2 800, ou seja
2800=\frac{2000+3600}{2}.
Isso só ocorre se, na lista ordenada, a posição central caia entre o último R$2 000 e o primeiro R$ 3 600. Chamando de k o número de demissões entre os que ganham R$3 600, o total passa a ser 30-k. Como queremos que o par central seja posições \tfrac{30-k}{2} e \tfrac{30-k}{2}+1 iguais a R$ 2 000 e R$ 3 600, precisamos de
\frac{30-k}{2}=10 \quad\Longrightarrow\quad30-k=20 \quad\Longrightarrow\quad k=10.

Resposta

(a) \bar x\approx3373{,}33, mediana =3600, Q_3=4000.
(b) Devem ser demitidos 10 funcionários que ganham R$ 3 600.

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