Ex12. O departamento pessoal de uma certa empresa fez um levantamento preliminar com os salários de 15 funcionários do setor de produção, obtendo os seguintes resultados (em salários-mínimos):
2 1 2,5 3 3 4 4,5 5 5 6 6,5 7 8 8 9
a) Encontre a média, a mediana dos dados e o terceiro quartil. Interprete os resultados.
b) Calcule a variância e o desvio padrão.
c) Se for concedido um aumento de 100 \% para todos os 15 funcionários deste setor, o que irá acontecer com a média? E com a variância?
d) Quais medidas obtidas anteriormente você acredita que será mais importante para a definição do tamanho de amostra final para avaliar os salários de todos os funcionários do setor? Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece os salários, em salários-mínimos, de 15 funcionários do setor de produção, já ordenados:
1,\;2,\;2,5,\;3,\;3,\;4,\;4,5,\;5,\;5,\;6,\;6,5,\;7,\;8,\;8,\;9
Precisamos calcular medidas de posição (média, mediana, terceiro quartil) e de dispersão (variância e desvio padrão), avaliar o efeito de dobrar todos os valores e discutir qual medida é mais relevante para dimensionar a amostra.

Passo 2

Para a média usamos
\bar x = \frac{1+2+2,5+3+3+4+4,5+5+5+6+6,5+7+8+8+9}{15} =\frac{74,5}{15}\approx4,97.

Passo 3

A mediana é o 8.º valor (posição (15+1)/2) na lista ordenada, logo
\text{mediana}=5.
O terceiro quartil Q_3 é a mediana da metade superior (valores de 9.º a 15.º):
5,\;6,\;6,5,\;7,\;8,\;8,\;9,
cuja mediana é o 4.º dessa parte, ou seja
Q_3=7.
Interpretação: o salário médio é cerca de 4,97 salários-mínimos, metade ganha até 5 e 75\% ganham até 7.

Passo 4

Usamos a variância populacional
\sigma^2 = \frac{1}{15}\sum_{i=1}^{15}(x_i-\bar x)^2 \approx\frac{81,7332}{15}\approx5,45
e o desvio padrão
\sigma=\sqrt{5,45}\approx2,33.

Passo 5

Se todos os salários forem dobrados (aumento de 100\%), cada x_i vira 2x_i. Então
a média dobra:
\bar x_{\text{novo}}=2\bar x\approx9,93,
e a variância quadruplica:
\sigma^2_{\text{novo}}=4\sigma^2\approx21,8.

Passo 6

Para definir o tamanho de uma amostra visando estimar salários com precisão, a variância (ou desvio padrão) é a medida mais importante, pois a fórmula de cálculo de n depende diretamente da variabilidade dos dados e do erro amostral desejado.

Resposta

a) \bar x\approx4,97, mediana =5, Q_3=7.
b) \sigma^2\approx5,45, \sigma\approx2,33.
c) A média dobra e a variância quadruplica.
d) A variância (ou desvio padrão) é a medida crucial para determinar o tamanho da amostra.

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