Ex.1:A partir da expressão do fluxo residual e variação interna de massa em um volume de controle,obtenha a equação de conservação de massa apresentada abaixo.
\frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{d t}=-\nabla \vec{U}

Passo 1

O que o enunciado pede: obter a equação de conservação de massa mostrada abaixo, que relaciona a variação da densidade com a divergência do campo velocidade. A equação alvo é
\frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dt}=-\nabla\cdot\vec{U}.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): temos um volume de controle qualquer, há duas contribuições para a massa no volume — a variação interna de massa e o fluxo de massa através da superfície do volume (fluxo residual). Vamos usar conservação de massa: a massa total num volume de controle só muda por entradas/saídas através da superfície.

Passo 2

Escrevendo a conservação de massa em forma integral (volume de controle fixo no espaço, convenção: fluxo positivo saindo): a massa dentro do volume V é \displaystyle\int_{V}\rho\,dV. A taxa de variação temporal da massa interna mais o fluxo de massa através da superfície S=\partial V deve ser nula. Portanto
\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\,dV + \int_{S}\rho\,\vec{U}\cdot\vec{n}\,dS = 0,
onde \vec{n} é o vetor normal externo à superfície e \vec{U} é o campo velocidade. Aqui a primeira parcela é a variação interna de massa e a segunda é o fluxo residual (massa que entra ou sai).

Passo 3

Converter a integral de superfície em integral de volume usando o Teorema da Divergência (Gauss). O teorema diz que, para um campo vetorial suficientemente suave,
\int_{S}\rho\,\vec{U}\cdot\vec{n}\,dS = \int_{V}\nabla\cdot(\rho\vec{U})\,dV.
Substituindo na expressão do passo anterior obtemos a forma integral da conservação de massa
\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\,dV + \int_{V}\nabla\cdot(\rho\vec{U})\,dV = 0.

Passo 4

Passar a derivada temporal para dentro da integral (volume fixo): a derivada da integral é a integral da derivada parcial temporal,
\int_{V}\frac{\partial\rho}{\partial t}\,dV + \int_{V}\nabla\cdot(\rho\vec{U})\,dV = 0.
Somando as integrais:
\int_{V}\Bigl(\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\vec{U})\Bigr)\,dV = 0.
Como o volume de controle V é arbitrário, a única maneira desta integral ser zero para todo V é o integrando ser identicamente zero. Logo a forma local (diferencial) da conservação é
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\vec{U})=0.

Passo 5

Expandir o termo \nabla\cdot(\rho\vec{U}) usando a regra do produto para divergência. A regra diz que
\quad \nabla\cdot(\rho\vec{U})=\rho\,\nabla\cdot\vec{U}+\vec{U}\cdot\nabla\rho.
Substituindo na equação diferencial obtemos
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho\,\nabla\cdot\vec{U}+\vec{U}\cdot\nabla\rho=0.

Passo 6

Definir e explicar o derivado material (seguindo uma partícula fluida): o derivado material de uma grandeza escalar \varphi é
\frac{D\varphi}{Dt}\equiv\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\vec{U}\cdot\nabla\varphi.
Ele mede a taxa de variação de \varphi observada quando nos movemos com o fluido (é a derivada “no referencial Lagrangiano”). Aplicando isso à densidade \rho, as duas primeiras parcelas da equação no passo anterior combinam-se em \displaystyle\frac{D\rho}{Dt}. Portanto a equação fica
\frac{D\rho}{Dt}+\rho\,\nabla\cdot\vec{U}=0.
Interpretação rápida: a variação de densidade de uma partícula fluida mais a expansão/contração do volume ocupada por ela ( \nabla\cdot\vec{U}) equilibram-se.

Passo 7

Dividir a equação por \rho (assumindo \rho>0, o que faz sentido fisicamente) para obter a forma final pedida:
\frac{1}{\rho}\frac{D\rho}{Dt}=-\nabla\cdot\vec{U}.
Aqui, se preferir a notação d\rho/dt usada no enunciado, ela representa o mesmo derivado material, ou seja \displaystyle\frac{d\rho}{dt}=\frac{D\rho}{Dt}.

Resposta

\frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dt}=-\nabla\cdot\vec{U}

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