Ex.1:A partir da expressão do fluxo residual e variação interna de massa em um volume de controle,obtenha a equação de conservação de massa apresentada abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede: obter a equação de conservação de massa mostrada abaixo, que relaciona a variação da densidade com a divergência do campo velocidade. A equação alvo é
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): temos um volume de controle qualquer, há duas contribuições para a massa no volume — a variação interna de massa e o fluxo de massa através da superfície do volume (fluxo residual). Vamos usar conservação de massa: a massa total num volume de controle só muda por entradas/saídas através da superfície.
Passo 2
Escrevendo a conservação de massa em forma integral (volume de controle fixo no espaço, convenção: fluxo positivo saindo): a massa dentro do volume
é
. A taxa de variação temporal da massa interna mais o fluxo de massa através da superfície
deve ser nula. Portanto
onde
é o vetor normal externo à superfície e
é o campo velocidade. Aqui a primeira parcela é a variação interna de massa e a segunda é o fluxo residual (massa que entra ou sai).
Passo 3
Converter a integral de superfície em integral de volume usando o Teorema da Divergência (Gauss). O teorema diz que, para um campo vetorial suficientemente suave,
Substituindo na expressão do passo anterior obtemos a forma integral da conservação de massa
Passo 4
Passar a derivada temporal para dentro da integral (volume fixo): a derivada da integral é a integral da derivada parcial temporal,
Somando as integrais:
Como o volume de controle
é arbitrário, a única maneira desta integral ser zero para todo
é o integrando ser identicamente zero. Logo a forma local (diferencial) da conservação é
Passo 5
Expandir o termo
usando a regra do produto para divergência. A regra diz que
Substituindo na equação diferencial obtemos
Passo 6
Definir e explicar o derivado material (seguindo uma partícula fluida): o derivado material de uma grandeza escalar
é
Ele mede a taxa de variação de
observada quando nos movemos com o fluido (é a derivada “no referencial Lagrangiano”). Aplicando isso à densidade
, as duas primeiras parcelas da equação no passo anterior combinam-se em
. Portanto a equação fica
Interpretação rápida: a variação de densidade de uma partícula fluida mais a expansão/contração do volume ocupada por ela (
) equilibram-se.
Passo 7
Dividir a equação por
(assumindo
, o que faz sentido fisicamente) para obter a forma final pedida:
Aqui, se preferir a notação
usada no enunciado, ela representa o mesmo derivado material, ou seja
.