Calcule o produto escalar entre os vetores
\vec{A}=2 \frac{m}{s} \hat{\imath}+6 \frac{m}{s} \hat{\jmath} e \vec{B}=5 \frac{m}{s} \hat{\imath}-3 \frac{m}{s} \hat{\jmath}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano com suas componentes (peguei estes valores do enunciado):
  • \vec{A} = 2\\ \dfrac{m}{s}\,\hat{\imath} + 6\\ \dfrac{m}{s}\,\hat{\jmath}.
  • \vec{B} = 5\\ \dfrac{m}{s}\,\hat{\imath} - 3\\ \dfrac{m}{s}\,\hat{\jmath}.
O que o problema pede: calcular o produto escalar (dot product) entre \vec{A} e \vec{B}, ou seja, encontrar o número escalar \vec{A}\cdot\vec{B} com suas unidades.

Passo 2

Definição e fórmula que vou usar (a mais prática para esta questão): para vetores em componentes no plano,
\vec{A} = A_x\,\hat{\imath}+A_y\,\hat{\jmath},\qquad \vec{B} = B_x\,\hat{\imath}+B_y\,\hat{\jmath},
o produto escalar é dado por
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_x B_x + A_y B_y.
Explicação didática: A_x e A_y são as componentes de \vec{A} nas direções \hat{\imath} (eixo x) e \hat{\jmath} (eixo y). O produto escalar combina as componentes correspondentes (x com x, y com y) e soma os resultados, produzindo um número (escalar). A unidade resultante é o produto das unidades das componentes; aqui será \mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2.
Observação extra (intuição): alternativamente, \vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores. Mas para cálculo direto com componentes a fórmula anterior é a mais simples.

Passo 3

Identificar as componentes a partir dos vetores dados:
A_x = 2\\ \dfrac{m}{s},\qquad A_y = 6\\ \dfrac{m}{s},
B_x = 5\\ \dfrac{m}{s},\qquad B_y = -3\\ \dfrac{m}{s}.
Calcular os produtos parciais A_xB_x e A_yB_y, incluindo unidades:
A_x B_x = \left(2\\ \dfrac{m}{s}\right)\left(5\\ \dfrac{m}{s}\right) = 10\\ \dfrac{m^2}{s^2},
A_y B_y = \left(6\\ \dfrac{m}{s}\right)\left(-3\\ \dfrac{m}{s}\right) = -18\\ \dfrac{m^2}{s^2}.

Passo 4

Somar os resultados parciais para obter o produto escalar:
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x + A_yB_y = 10\\ \dfrac{m^2}{s^2} + \bigl(-18\\ \dfrac{m^2}{s^2}\bigr) = -8\\ \dfrac{m^2}{s^2}.
Interpretação curta (motivacional): o resultado é negativo, o que indica que o ângulo entre \vec{A} e \vec{B} é maior que 90^\circ (os vetores têm componentes predominantemente em direções opostas em relação a alguma projeção).

Resposta

-8\\ \dfrac{m^2}{s^2}

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