Ex3 Derive
f(x)=sin ^3(2^x^4)

Passo 1

O problema pede para derivar a função
f(x)=sin^3!l(2^x^4r)
O que precisamos é aplicar a regra da cadeia em três camadas: a potência cúbica, a função seno e a exponencial.

Passo 2

Definimos as funções intermediárias para organizar a cadeia:
v(t)=t^3,
w(u)=sin(u) e
u(x)=2^x^4.
Assim f(x)=vl(w(u(x))r).

Passo 3

Derivada da camada externa v(t)=t^3:
v'(t)=3t^2
Logo, pela cadeia,
ddxvl(w(u)r) =3l[w(u)r]^2cdotddxw(u)

Passo 4

Derivada da camada do meio w(u)=sin(u):
w'(u)=cos(u)
Aplicando cadeia de novo,
ddxw(u) =cos(u)cdotdudx

Passo 5

Derivada da camada interna u(x)=2^,x^4. Sabemos que
ddxa^v(x)=a^v(x)ln(a),v'(x)
Aqui a=2 e v(x)=x^4, logo
dudx =2^x^4ln(2)cdotddx(x^4) =2^x^4ln(2)cdot4x^3 =4x^3ln(2),2^x^4

Passo 6

Agora basta juntar as três etapas:
f'(x) =3l[sin(u)r]^2;times;cos(u);times;l(4x^3ln(2),2^x^4r),
onde u=2^x^4. Simplificando,
f'(x) =12x^3ln(2),2^x^4;sin^2!l(2^x^4r);cos!l(2^x^4r)

Resposta

f'(x)=12x^3ln(2),2^x^4sin^2l(2^x^4r)cosl(2^x^4r)

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