Para as funções abaixo, calcule
e
e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede as derivadas parciais de segunda ordem
e verificar se vale o Teorema de Schwarz. Para isso, vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem usando regra do produto e da cadeia, depois derivar novamente para cada combinação de variáveis.
Passo 2
Para simplificar, denotemos
Então
Derivando em relação a
por produto e cadeia:
Derivando em relação a
(a só aparece em
):
Passo 3
Agora
. Aplicando produto e quociente:
Somando,
Passo 4
Para
, partimos de
. Derivando em
:
Logo
Passo 5
Para
, partimos de
. Usando quociente:
Passo 6
Para
, partimos de
. Novamente quociente:
Passo 7
Observamos que
logo
. Como
é
em
, o Teorema de Schwarz vale e confirma essa igualdade.
Resposta
e a igualdade
confirma o Teorema de Schwarz.