Para as funções abaixo, calcule fx x, fx y, fy y e fy x e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
f(x, y)=x^2 ln (1+x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=x^2lnl(1+x^2+y^2r)
e pede as derivadas parciais de segunda ordem ,fxx,fxy,fyy,fyx e verificar se vale o Teorema de Schwarz. Para isso, vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem usando regra do produto e da cadeia, depois derivar novamente para cada combinação de variáveis.

Passo 2

Para simplificar, denotemos
A = 1 + x^2 + y^2
Então
f(x,y) = x^2ln A
Derivando em relação a x por produto e cadeia:
fx = 2xln A + x^2cdot1Acdot 2x = 2xln A + 2x^3A
Derivando em relação a y (a só aparece em A):
fy = x^2cdot1Acdot 2y = 2x^2yA

Passo 3

Agora fxx = partialpartial xl(2xln A + tfrac2x^3Ar). Aplicando produto e quociente:
partialpartial xl(2xln Ar) =2ln A + 2xcdot2xA =2ln A + 4x^2A,
partialpartial x!l(2x^3Ar) =6x^2,A - 2x^3cdot 2xA^2 =6x^2A - 4x^4A^2 =2x^2l(3 + x^2 + 3y^2r)A^2
Somando,
fxx =2ln A + 4x^2A + 2x^2l(3 + x^2 + 3y^2r)A^2

Passo 4

Para fxy = partialpartial yfx, partimos de fx=2xln A + tfrac2x^3A. Derivando em y:
partialpartial y(2xln A) =2xcdot2yA =4xyA,
partialpartial y!l(2x^3Ar) =2x^3cdotl(-1A^2r)cdot 2y =-4x^3yA^2
Logo
fxy =4xyA-4x^3yA^2 =4xy,(A - x^2)A^2 =4xy,(1 + y^2)A^2

Passo 5

Para fyy = partialpartial yfy, partimos de fy=tfrac2x^2yA. Usando quociente:
partialpartial y(2x^2y) =2x^2, partialpartial y(A)=2y,
fyy =2x^2,A - 2x^2ycdot 2yA^2 =2x^2(A - 2y^2)A^2 =2x^2l(1 + x^2 - y^2r)A^2

Passo 6

Para fyx = partialpartial xfy, partimos de fy=tfrac2x^2yA. Novamente quociente:
partialpartial x(2x^2y) =4xy, partialpartial x(A)=2x,
fyx =4xy,A - 2x^2ycdot 2xA^2 =4xy,(A - x^2)A^2 =4xy,(1 + y^2)A^2

Passo 7

Observamos que
fxy = 4xy,(1 + y^2)A^2 e fyx = 4xy,(1 + y^2)A^2,
logo fxy=fyx. Como f é C^2 em R^2, o Teorema de Schwarz vale e confirma essa igualdade.

Resposta

fxx =2lnl(1+x^2+y^2r) +4x^21+x^2+y^2 +2x^2l(3 + x^2 + 3y^2r)l(1+x^2+y^2r)^2,
fxy =fyx =4xy,(1 + y^2)l(1+x^2+y^2r)^2,
fyy =2x^2l(1 + x^2 - y^2r)l(1+x^2+y^2r)^2,
e a igualdade fxy=fyx confirma o Teorema de Schwarz.

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