(Ex3, III.6, pg154) Calcule o momento de inércia, em relação ao eixo dado, da chapa D com a densidade pontual de massa dada:
d) D=\left\{(x, y): 1 \leq x \leq 4, \frac{4}{x} \leq y \leq 5-x\right\}, o eixo é O x e a densidade é constante.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia em relação ao eixo Ox de uma chapa de densidade pontual constante \delta ocupando
D=\{(x,y)\mid 1\le x\le4,\;\tfrac{4}{x}\le y\le5-x\}.
Para chapas de densidade constante usamos a fórmula
I_x \;=\;\iint_{D} y^2\,\delta\,dA.

Passo 2

Como \delta é constante, podemos colocar fora da integral e parametrizar em coordenadas cartesianas:
I_x \;=\;\delta\int_{x=1}^{4}\int_{y=\frac{4}{x}}^{5-x}y^2\,dy\,dx.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
\int_{\frac{4}{x}}^{5-x}y^2\,dy =\Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{y=\frac{4}{x}}^{5-x} =\tfrac{1}{3}\Bigl((5-x)^3-\bigl(\tfrac{4}{x}\bigr)^3\Bigr) =\tfrac{1}{3}\Bigl((5-x)^3-\tfrac{64}{x^3}\Bigr).
Logo
I_x =\frac{\delta}{3}\int_{1}^{4}\Bigl((5-x)^3-\tfrac{64}{x^3}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Separe em duas integrais:
\int_{1}^{4}(5-x)^3\,dx \quad\text{e}\quad 64\int_{1}^{4}x^{-3}\,dx.
Para a primeira, expanda (5-x)^3=125-75x+15x^2-x^3 e integre termo a termo:
\int_{1}^{4}(5-x)^3\,dx =\Bigl[125x-\tfrac{75}{2}x^2+5x^3-\tfrac{x^4}{4}\Bigr]_{1}^{4} =156-\;92{,}25 =\tfrac{255}{4}.
Para a segunda,
\int_{1}^{4}x^{-3}\,dx =\Bigl[-\tfrac{1}{2x^2}\Bigr]_{1}^{4} =-\tfrac{1}{2\cdot16}-\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) =30/64\text{? Refaça:}ç
Na verdade
64\int_{1}^{4}x^{-3}\,dx =64\Bigl[-\tfrac{1}{2x^2}\Bigr]_{1}^{4} =64\Bigl(-\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{2}\Bigr) =64\Bigl(-\tfrac{1}{32}+\tfrac{16}{32}\Bigr) =64\cdot\tfrac{15}{32} =30.

Passo 5

Juntando os resultados:
\int_{1}^{4}\Bigl((5-x)^3-\tfrac{64}{x^3}\Bigr)dx =\tfrac{255}{4}-30 =\tfrac{255-120}{4} =\tfrac{135}{4}.
Logo
I_x =\frac{\delta}{3}\cdot\frac{135}{4} =\frac{45\,\delta}{4}.
Assumindo densidade unitária \delta=1, fica I_x=\tfrac{45}{4}.

Resposta

I_x=\frac{45\,\delta}{4},
e para \delta=1, I_x=\frac{45}{4}.

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