(20 pontos) Calcule o fluxo do campo \vec{F}(x, y, z)=x \overrightarrow{\mathbf{i}}+y \overrightarrow{\mathbf{j}}+z \overrightarrow{\mathbf{k}} através da superfície S dada pela parte do paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} que está acima do quadrado 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1, e orientada pelo campo normal unitário.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec F(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k} através da porção do paraboloide
z = 4 - x^2 - y^2
sobre o quadrado 0\le x\le1,\;0\le y\le1, usando o normal unitário de orientação para cima.
Para resolver, vamos parametrizar a superfície como gráfico de z=f(x,y), usar a fórmula
\iint_S\vec F\cdot\hat n\,dS =\iint_D\bigl[-P\,f_x - Q\,f_y + R\bigr]\,dA
onde \vec F=(P,Q,R) e D é o domínio no plano xy.

Passo 2

Parametrização e derivadas parciais.
Definimos
f(x,y)=4 - x^2 - y^2,\quad D=\{(x,y)\mid0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
Então
f_x = -2x,\quad f_y = -2y.

Passo 3

Construção do integrando.
Escrevendo \vec F=(P,Q,R)=(x,y,\,4-x^2-y^2), a fórmula dá
-P\,f_x - Q\,f_y + R =-x\cdot(-2x)\;-\;y\cdot(-2y)\;+\;(4-x^2-y^2) =2x^2+2y^2+4-x^2-y^2 =x^2+y^2+4.

Passo 4

Cálculo da integral dupla.
\iint_D(x^2+y^2+4)\,dA =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}(x^2+y^2+4)\,dy\,dx.
Integramos primeiro em y:
\int_{0}^{1}(x^2+y^2+4)\,dy =x^2\Bigl[y\Bigr]_0^1+\Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_0^1+4\Bigl[y\Bigr]_0^1 =x^2+\tfrac{1}{3}+4 =x^2+\tfrac{13}{3}.
Agora em x:
\int_{0}^{1}\Bigl(x^2+\tfrac{13}{3}\Bigr)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_0^1+\tfrac{13}{3}\Bigl[x\Bigr]_0^1 =\tfrac{1}{3}+\tfrac{13}{3} =\tfrac{14}{3}.

Resposta

O fluxo de \vec F pela superfície S é \displaystyle \tfrac{14}{3}.

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