(20 pontos) Calcule o fluxo do campo
através da superfície
dada pela parte do paraboloide
que está acima do quadrado
, e orientada pelo campo normal unitário.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da porção do paraboloide
sobre o quadrado
, usando o normal unitário de orientação para cima.
Para resolver, vamos parametrizar a superfície como gráfico de , usar a fórmula
Para resolver, vamos parametrizar a superfície como gráfico de
onde
e
é o domínio no plano
.
Passo 2
Parametrização e derivadas parciais.
Definimos
Definimos
Então
Passo 3
Construção do integrando.
Escrevendo , a fórmula dá
Escrevendo
Passo 4
Cálculo da integral dupla.
Integramos primeiro em
:
Agora em
:
Resposta
O fluxo de
pela superfície
é
.