(20 pontos) Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=2 x y \overrightarrow{\mathbf{i}}+\left(x^{2}+2 y z\right) \overrightarrow{\mathbf{j}}+y^{2} \overrightarrow{\mathbf{k}} definido sobre \mathbb{R}^{3}. Verifique se o campo \vec{F} é conservativo ou não em \mathbb{R}^{3}. Calcule o trabalho realizado por \vec{F} ao longo de uma curva que ligue o ponto (1,0,0) ao ponto (1,4,2), nesta ordem.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo
\vec{F}(x,y,z)=2xy\,\overrightarrow{\mathbf{i}}+\bigl(x^{2}+2yz\bigr)\,\overrightarrow{\mathbf{j}}+y^{2}\,\overrightarrow{\mathbf{k}}
é conservativo em \mathbb{R}^{3} e, em caso afirmativo, usar a função potencial para calcular o trabalho entre (1,0,0) e (1,4,2). Vamos precisar de conceitos de rotor \nabla\times\vec{F}, de potencial escalar \varphi com \nabla\varphi=\vec{F} e da propriedade de independência de caminho em campos conservativos.

Passo 2

Calculemos o rotor de \vec{F}:
\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \overrightarrow{\mathbf{i}} & \overrightarrow{\mathbf{j}} & \overrightarrow{\mathbf{k}}\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\\ 2xy & x^2+2yz & y^2 \end{vmatrix}.
Isso dá três componentes:
(\nabla\times\vec{F})_x=\frac{\partial}{\partial y}(y^2)-\frac{\partial}{\partial z}(x^2+2yz) =2y-2y=0,
(\nabla\times\vec{F})_y=\frac{\partial}{\partial z}(2xy)-\frac{\partial}{\partial x}(y^2) =0-0=0,
(\nabla\times\vec{F})_z=\frac{\partial}{\partial x}(x^2+2yz)-\frac{\partial}{\partial y}(2xy) =2x-2x=0.
Como \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em todo \mathbb{R}^{3} (que é simplesmente conexo), concluímos que \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}, integramos componente a componente:
  1. Integramos F_1=2xy em x:
\varphi(x,y,z)=\int 2xy\,dx=x^2y+g(y,z).
  1. Diferenciamos essa \varphi em relação a y e igualamos a F_2=x^2+2yz:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=x^2+\frac{\partial g}{\partial y}=x^2+2yz \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=2yz
Integrando em y: g(y,z)=y^2z+h(z).
  1. Finalmente, diferenciamos \varphi(x,y,z)=x^2y+y^2z+h(z) em z e igualamos a F_3=y^2:
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=y^2+h'(z)=y^2 \quad\Longrightarrow\quad h'(z)=0
Logo h(z) é constante, que podemos tomar zero. Assim
\varphi(x,y,z)=x^2y+y^2z.

Passo 4

Em um campo conservativo, o trabalho independe do caminho e vale
W=\varphi\bigl(1,4,2\bigr)-\varphi\bigl(1,0,0\bigr).
Calculando:
\varphi(1,4,2)=1^2\cdot4+4^2\cdot2=4+32=36, \quad \varphi(1,0,0)=1^2\cdot0+0^2\cdot0=0,
portanto
W=36-0=36.

Resposta

O campo \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^{3} e o trabalho realizado é 36.

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