Exame - Data: 11/12/2024
CDI1001 - Cálculo Diferencial e Integral 1 - Turma PRO242-01U
Prof. Bruno Vinicio do Vale
Aluno:
Instruções:
  • A prova é individual e sem consulta. Pode ser feita a lápis.
  • Respostas sem justificativas não são consideradas. Devem ser utilizados conceitos vistos em aula.
  1. (1,5 ponto) Seja a função f: R R, f(x)=5^x-4:
    (a) A função é injetora? Por quê? Se não for, faça as devidas restrições para ela ser bijetora.

Passo 1

Temos a função f: R to R, definida por f(x)=5^x - 4. O conteúdo aqui é injetividade e bijetividade de funções exponenciais. Precisamos verificar se f é injetora e, se preciso, restringir domínio ou contradomínio para torná-la bijetora.

Passo 2

Para verificar injetividade, usamos que uma função é injetora se, sempre que f(x1)=f(x2), então x1=x2. Aplique isso a f:
Suponha f(x1)=f(x2). Então temos
5^x1-4 = 5^x2-4
o que implica
5^x1 = 5^x2
Como a função exponencial de base 5>0 e 5 neq 1 é estritamente crescente, segue que x1 = x2. Logo, f é injetora.

Passo 3

Para ser bijetora, também precisamos de sobrejetividade. A imagem de f é
limxto -infty f(x) = -4, limxto +infty f(x) = +infty,
logo Im(f) = (-4, +infty). Como Im(f)neq R, f não é sobrejetora em R.

Passo 4

Para tornar f bijetora, basta restringir o contradomínio à imagem. Assim, definimos
f: R to (-4, +infty),
que faz de f uma bijeção.

Resposta

A função f(x)=5^x-4 é injetora porque a exponencial é estritamente crescente. Como Im(f)=(-4,infty), não é sobrejetora em R. Para ser bijetora, restringimos o contradomínio para (-4,infty).

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