Exame - Data: 11/12/2024
CDI1001 - Cálculo Diferencial e Integral 1 - Turma PRO242-01U
Prof. Bruno Vinicio do Vale
Aluno:
Instruções:
- A prova é individual e sem consulta. Pode ser feita a lápis.
- Respostas sem justificativas não são consideradas. Devem ser utilizados conceitos vistos em aula.
- (1,5 ponto) Seja a função
:
(a) A função é injetora? Por quê? Se não for, faça as devidas restrições para ela ser bijetora.
CDI1001 - Cálculo Diferencial e Integral 1 - Turma PRO242-01U
Prof. Bruno Vinicio do Vale
Aluno:
Instruções:
(a) A função é injetora? Por quê? Se não for, faça as devidas restrições para ela ser bijetora.
Passo 1
Temos a função
, definida por
. O conteúdo aqui é injetividade e bijetividade de funções exponenciais. Precisamos verificar se
é injetora e, se preciso, restringir domínio ou contradomínio para torná-la bijetora.
Passo 2
Para verificar injetividade, usamos que uma função é injetora se, sempre que
, então
. Aplique isso a
:
Suponha . Então temos
Suponha
o que implica
Como a função exponencial de base
e
é estritamente crescente, segue que
. Logo,
é injetora.
Passo 3
Para ser bijetora, também precisamos de sobrejetividade. A imagem de
é
logo
. Como
,
não é sobrejetora em
.
Passo 4
Para tornar
bijetora, basta restringir o contradomínio à imagem. Assim, definimos
que faz de
uma bijeção.
Resposta
A função
é injetora porque a exponencial é estritamente crescente. Como
, não é sobrejetora em
. Para ser bijetora, restringimos o contradomínio para
.