Um exame de laboratório tem eficiência de 97 % para detectar uma doença quando ela de fato existe. Além disso, o teste aponta um resultado falso positivo para 1,6 % das pessoas sadias testadas. Se 0,5% da população tem a doença, qual é a probabilidade de que uma pessoa, escolhida ao acaso, tenha a doença, sabendo que o seu exame foi positivo?

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade usando o Teorema de Bayes. O enunciado nos informa que:
  • A eficiência do exame (probabilidade de detectar a doença quando ela realmente existe) é de 97%.
  • A taxa de falso positivo (probabilidade do exame indicar doença quando a pessoa está saudável) é de 1,6%.
  • A prevalência da doença na população é de 0,5%.
Queremos encontrar a probabilidade de uma pessoa ter a doença sabendo que o exame dela foi positivo, ou seja, P(Doença mid Positivo)ç.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades conhecidas:
  • Probabilidade de ter a doença: P(D) = 0,005 (0,5%)
  • Probabilidade de estar saudável: P(S) = 1 - P(D) = 0,995
  • Eficiência do exame (sensibilidade): P(Positivo mid D) = 0,97
  • Taxa de falso positivo: P(Positivo mid S) = 0,016

Passo 3

O Teorema de Bayes nos ajuda a encontrar P(D mid Positivo). A fórmula do teorema é:
P(D mid Positivo) = P(Positivo mid D) cdot P(D)P(Positivo)

Passo 4

Precisamos calcular P(Positivo), que é a probabilidade total do exame dar positivo. Ela inclui as pessoas que realmente têm a doença e as pessoas saudáveis que tiveram um falso positivo:
P(Positivo) = P(Positivo mid D) cdot P(D) + P(Positivo mid S) cdot P(S)

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos:
P(Positivo) = (0,97 times 0,005) + (0,016 times 0,995) = 0,00485 + 0,01592 = 0,02077

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes com os valores calculados:
P(D mid Positivo) = 0,97 times 0,0050,02077 = 0,004850,02077 approx 0,2335

Resposta

A probabilidade de que uma pessoa tenha a doença, sabendo que o exame foi positivo, é de aproximadamente 23,35%.

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