Um exame de laboratório tem eficiência de
para detectar uma doença quando ela de fato existe. Além disso, o teste aponta um resultado falso positivo para
das pessoas sadias testadas. Se 0,5% da população tem a doença, qual é a probabilidade de que uma pessoa, escolhida ao acaso, tenha a doença, sabendo que o seu exame foi positivo?
Passo 1
Vamos resolver um problema de probabilidade usando o Teorema de Bayes. O enunciado nos informa que:
- A eficiência do exame (probabilidade de detectar a doença quando ela realmente existe) é de
. - A taxa de falso positivo (probabilidade do exame indicar doença quando a pessoa está saudável) é de
. - A prevalência da doença na população é de
.
Queremos encontrar a probabilidade de uma pessoa ter a doença sabendo que o exame dela foi positivo, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as probabilidades conhecidas:
- Probabilidade de ter a doença:
(0,5%) - Probabilidade de estar saudável:
- Eficiência do exame (sensibilidade):
- Taxa de falso positivo:
Passo 3
O Teorema de Bayes nos ajuda a encontrar
. A fórmula do teorema é:
Passo 4
Precisamos calcular
, que é a probabilidade total do exame dar positivo. Ela inclui as pessoas que realmente têm a doença e as pessoas saudáveis que tiveram um falso positivo:
Passo 5
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes com os valores calculados:
Resposta
A probabilidade de que uma pessoa tenha a doença, sabendo que o exame foi positivo, é de aproximadamente
.