Pretende-se fazer uma salada com as frutas maça, banana, pera e laranja com as seguintes condições:
- O número de maçãs deve ser par e menor que 10;
- O número de bananas deve ser um múltiplo de 5;
- Deve conter no máximo 3 laranjas;
- Deve contar no máximo 2 perâs.
Quantas saladas distintas podem ser formadas com exatamente 12 frutas?
Quantas saladas distintas podem ser formadas com exatamente 12 frutas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de combinatória, que basicamente ajuda a contar de quantas maneiras diferentes a gente pode combinar coisas, no caso, frutas para fazer uma salada. As frutas disponíveis são maçã, banana, pera e laranja, e a gente quer exatamente 12 frutas na salada. Mas tem algumas regras:
- O número de maçãs tem que ser par e menor que 10.
- O número de bananas tem que ser múltiplo de 5.
- Pode ter no máximo 3 laranjas.
- Pode ter no máximo 2 peras.
Vamos precisar usar um pouco de raciocínio combinatório para descobrir todas as combinações possíveis que obedecem essas regras e totalizam 12 frutas.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as possibilidades para cada tipo de fruta com base nas restrições:
- Maçãs (m): tem que ser par e menor que 10. Então, m pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8.
- Bananas (b): tem que ser múltiplo de 5. Com 12 frutas no total, b pode ser 0, 5 ou 10.
- Laranjas (l): no máximo 3. Então, l pode ser 0, 1, 2 ou 3.
- Peras §: no máximo 2. Então, p pode ser 0, 1 ou 2.
Passo 3
Agora, vamos pensar que o total das frutas deve ser 12:
Queremos contar quantas combinações de m, b, l e p satisfazem essa equação, respeitando as restrições que listamos.
Passo 4
Vamos fazer isso passo a passo, fixando uma variável de cada vez e verificando as possibilidades para as outras.
Passo 4.1: Escolher o número de maçãs (m) e banana (b), já que eles têm restrições mais específicas.
Para cada valor de m e b, calculamos quanto sobra para l e p:
Devemos garantir que $ l \leq 3 $ e $ p \leq 2 $.
Passo 5
Vamos enumerar todas as combinações possíveis de m e b e ver quantas soluções existem para l e p em cada caso.
Caso 1: $ m = 0 $
-
Subcaso a: $ b = 0 $
- $ l + p = 12 - 0 - 0 = 12 $
- Mas $ l \leq 3 $ e $ p \leq 2 $, 12 não cabe, então nenhuma solução aqui.
-
Subcaso b: $ b = 5 $
- $ l + p = 12 - 0 - 5 = 7 $
- Ainda $ l \leq 3 $ e $ p \leq 2 $, 7 também não cabe, nenhuma solução.
-
Subcaso c: $ b = 10 $
- $ l + p = 12 - 0 - 10 = 2 $
- Agora, $ l $ pode ser 0,1,2 e $ p = 2 - l $
- As combinações são:
- $ l = 0 $, $ p = 2 $
- $ l = 1 $, $ p = 1 $
- $ l = 2 $, $ p = 0 $
- Total de 3 soluções.
Total para m=0: 3 soluções.
Passo 6
Caso 2: $ m = 2 $
-
Subcaso a: $ b = 0 $
- $ l + p = 12 - 2 - 0 = 10 $
- $ l \leq 3 $ e $ p \leq 2 $, 10 não cabe, nenhuma solução.
-
Subcaso b: $ b = 5 $
- $ l + p = 12 - 2 - 5 = 5 $
- $ l \leq 3 $, $ p \leq 2 $
- Vamos ver as possibilidades:
- $ l = 0 $, $ p = 5 $ → $ p \leq 2 $? Não.
- $ l = 1 $, $ p = 4 $ → Não.
- $ l = 2 $, $ p = 3 $ → Não.
- $ l = 3 $, $ p = 2 $ → Válido.
- Apenas 1 solução.
-
Subcaso c: $ b = 10 $
- $ l + p = 12 - 2 - 10 = 0 $
- Apenas uma possibilidade: $ l = 0 $, $ p = 0 $
- 1 solução.
Total para m=2: 1 + 1 = 2 soluções.
Passo 7
Caso 3: $ m = 4 $
-
Subcaso a: $ b = 0 $
- $ l + p = 12 - 4 - 0 = 8 $
- $ l \leq 3 $, $ p \leq 2 $, 8 não cabe, nenhuma solução.
-
Subcaso b: $ b = 5 $
- $ l + p = 12 - 4 - 5 = 3 $
- Agora, vamos ver as combinações:
- $ l = 0 $, $ p = 3 $ → $ p \leq 2 $? Não.
- $ l = 1 $, $ p = 2 $ → Válido.
- $ l = 2 $, $ p = 1 $ → Válido.
- $ l = 3 $, $ p = 0 $ → Válido.
- Total de 3 soluções.
-
Subcaso c: $ b = 10 $
- $ l + p = 12 - 4 - 10 = -2 $
- Número negativo, impossível. Nenhuma solução.
Total para m=4: 3 soluções.
Passo 8
Caso 4: $ m = 6 $
-
Subcaso a: $ b = 0 $
- $ l + p = 12 - 6 - 0 = 6 $
- $ l \leq 3 $, $ p \leq 2 $, 6 não cabe, nenhuma solução.
-
Subcaso b: $ b = 5 $
- $ l + p = 12 - 6 - 5 = 1 $
- Possibilidades:
- $ l = 0 $, $ p = 1 $ → Válido.
- $ l = 1 $, $ p = 0 $ → Válido.
- Total de 2 soluções.
-
Subcaso c: $ b = 10 $
- $ l + p = 12 - 6 - 10 = -4 $
- Impossível, nenhuma solução.
Total para m=6: 2 soluções.
Passo 9
Caso 5: $ m = 8 $
-
Subcaso a: $ b = 0 $
- $ l + p = 12 - 8 - 0 = 4 $
- $ l \leq 3 $, $ p \leq 2 $, 4 não cabe, nenhuma solução.
-
Subcaso b: $ b = 5 $
- $ l + p = 12 - 8 - 5 = -1 $
- Impossível, nenhuma solução.
-
Subcaso c: $ b = 10 $
- $ l + p = 12 - 8 - 10 = -6 $
- Impossível, nenhuma solução.
Total para m=8: 0 soluções.
Passo 10
Agora, vamos somar todas as soluções que encontramos em cada caso:
- m = 0: 3
- m = 2: 2
- m = 4: 3
- m = 6: 2
- m = 8: 0
Total de saladas distintas possíveis:
Resposta
Então, podemos formar 10 saladas distintas obedecendo todas as condições dadas.