Pretende-se fazer uma salada com as frutas maça, banana, pera e laranja com as seguintes condições:
  1. O número de maçãs deve ser par e menor que 10;
  2. O número de bananas deve ser um múltiplo de 5;
  3. Deve conter no máximo 3 laranjas;
  4. Deve contar no máximo 2 perâs.
    Quantas saladas distintas podem ser formadas com exatamente 12 frutas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de combinatória, que basicamente ajuda a contar de quantas maneiras diferentes a gente pode combinar coisas, no caso, frutas para fazer uma salada. As frutas disponíveis são maçã, banana, pera e laranja, e a gente quer exatamente 12 frutas na salada. Mas tem algumas regras:
  1. O número de maçãs tem que ser par e menor que 10.
  2. O número de bananas tem que ser múltiplo de 5.
  3. Pode ter no máximo 3 laranjas.
  4. Pode ter no máximo 2 peras.
Vamos precisar usar um pouco de raciocínio combinatório para descobrir todas as combinações possíveis que obedecem essas regras e totalizam 12 frutas.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possibilidades para cada tipo de fruta com base nas restrições:
  • Maçãs (m): tem que ser par e menor que 10. Então, m pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8.
  • Bananas (b): tem que ser múltiplo de 5. Com 12 frutas no total, b pode ser 0, 5 ou 10.
  • Laranjas (l): no máximo 3. Então, l pode ser 0, 1, 2 ou 3.
  • Peras §: no máximo 2. Então, p pode ser 0, 1 ou 2.

Passo 3

Agora, vamos pensar que o total das frutas deve ser 12:
m + b + l + p = 12
Queremos contar quantas combinações de m, b, l e p satisfazem essa equação, respeitando as restrições que listamos.

Passo 4

Vamos fazer isso passo a passo, fixando uma variável de cada vez e verificando as possibilidades para as outras.
Passo 4.1: Escolher o número de maçãs (m) e banana (b), já que eles têm restrições mais específicas.
Para cada valor de m e b, calculamos quanto sobra para l e p:
l + p = 12 - m - b
Devemos garantir que $ l \leq 3 $ e $ p \leq 2 $.

Passo 5

Vamos enumerar todas as combinações possíveis de m e b e ver quantas soluções existem para l e p em cada caso.
Caso 1: $ m = 0 $
  • Subcaso a: $ b = 0 $
    • $ l + p = 12 - 0 - 0 = 12 $
    • Mas $ l \leq 3 $ e $ p \leq 2 $, 12 não cabe, então nenhuma solução aqui.
  • Subcaso b: $ b = 5 $
    • $ l + p = 12 - 0 - 5 = 7 $
    • Ainda $ l \leq 3 $ e $ p \leq 2 $, 7 também não cabe, nenhuma solução.
  • Subcaso c: $ b = 10 $
    • $ l + p = 12 - 0 - 10 = 2 $
    • Agora, $ l $ pode ser 0,1,2 e $ p = 2 - l $
    • As combinações são:
      • $ l = 0 $, $ p = 2 $
      • $ l = 1 $, $ p = 1 $
      • $ l = 2 $, $ p = 0 $
    • Total de 3 soluções.
Total para m=0: 3 soluções.

Passo 6

Caso 2: $ m = 2 $
  • Subcaso a: $ b = 0 $
    • $ l + p = 12 - 2 - 0 = 10 $
    • $ l \leq 3 $ e $ p \leq 2 $, 10 não cabe, nenhuma solução.
  • Subcaso b: $ b = 5 $
    • $ l + p = 12 - 2 - 5 = 5 $
    • $ l \leq 3 $, $ p \leq 2 $
    • Vamos ver as possibilidades:
      • $ l = 0 $, $ p = 5 $ → $ p \leq 2 $? Não.
      • $ l = 1 $, $ p = 4 $ → Não.
      • $ l = 2 $, $ p = 3 $ → Não.
      • $ l = 3 $, $ p = 2 $ → Válido.
    • Apenas 1 solução.
  • Subcaso c: $ b = 10 $
    • $ l + p = 12 - 2 - 10 = 0 $
    • Apenas uma possibilidade: $ l = 0 $, $ p = 0 $
    • 1 solução.
Total para m=2: 1 + 1 = 2 soluções.

Passo 7

Caso 3: $ m = 4 $
  • Subcaso a: $ b = 0 $
    • $ l + p = 12 - 4 - 0 = 8 $
    • $ l \leq 3 $, $ p \leq 2 $, 8 não cabe, nenhuma solução.
  • Subcaso b: $ b = 5 $
    • $ l + p = 12 - 4 - 5 = 3 $
    • Agora, vamos ver as combinações:
      • $ l = 0 $, $ p = 3 $ → $ p \leq 2 $? Não.
      • $ l = 1 $, $ p = 2 $ → Válido.
      • $ l = 2 $, $ p = 1 $ → Válido.
      • $ l = 3 $, $ p = 0 $ → Válido.
    • Total de 3 soluções.
  • Subcaso c: $ b = 10 $
    • $ l + p = 12 - 4 - 10 = -2 $
    • Número negativo, impossível. Nenhuma solução.
Total para m=4: 3 soluções.

Passo 8

Caso 4: $ m = 6 $
  • Subcaso a: $ b = 0 $
    • $ l + p = 12 - 6 - 0 = 6 $
    • $ l \leq 3 $, $ p \leq 2 $, 6 não cabe, nenhuma solução.
  • Subcaso b: $ b = 5 $
    • $ l + p = 12 - 6 - 5 = 1 $
    • Possibilidades:
      • $ l = 0 $, $ p = 1 $ → Válido.
      • $ l = 1 $, $ p = 0 $ → Válido.
    • Total de 2 soluções.
  • Subcaso c: $ b = 10 $
    • $ l + p = 12 - 6 - 10 = -4 $
    • Impossível, nenhuma solução.
Total para m=6: 2 soluções.

Passo 9

Caso 5: $ m = 8 $
  • Subcaso a: $ b = 0 $
    • $ l + p = 12 - 8 - 0 = 4 $
    • $ l \leq 3 $, $ p \leq 2 $, 4 não cabe, nenhuma solução.
  • Subcaso b: $ b = 5 $
    • $ l + p = 12 - 8 - 5 = -1 $
    • Impossível, nenhuma solução.
  • Subcaso c: $ b = 10 $
    • $ l + p = 12 - 8 - 10 = -6 $
    • Impossível, nenhuma solução.
Total para m=8: 0 soluções.

Passo 10

Agora, vamos somar todas as soluções que encontramos em cada caso:
  • m = 0: 3
  • m = 2: 2
  • m = 4: 3
  • m = 6: 2
  • m = 8: 0
Total de saladas distintas possíveis:
3 + 2 + 3 + 2 + 0 = 10

Resposta

Então, podemos formar 10 saladas distintas obedecendo todas as condições dadas.

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