- (Exame de Transferência FUVEST 2013 - Adaptado) Encontre as equações de todas as retas que são simultaneamente tangentes às parábolas
e
.
Passo 1
O enunciado pede as retas que tocam simultaneamente as parábolas
e
. Vamos usar o fato de que, em um ponto de abscissa
, a reta tangente a
tem coeficiente angular dado pela derivada
e passa pelo ponto
. De modo análogo faremos para a segunda parábola.
Passo 2
Tangente à parábola
no ponto
: o coeficiente angular é
. A equação da reta em forma ponto-declive é
que se rearranja para
Passo 3
Tangente à parábola
no ponto
: o coeficiente angular é
. A reta é
isto é,
Passo 4
Para ser a mesma reta, devemos ter
e os termos independentes iguais. Logo:
Substituindo
na segunda igualdade:
Passo 5
Para
(e
), a reta comum é
Para
(e
), a reta comum é
Resposta
As retas são
e
.