1. (Exame de Transferência FUVEST 2013 - Adaptado) Encontre as equações de todas as retas que são simultaneamente tangentes às parábolas y=x^2+1 e y=-x^2-1.

Passo 1

O enunciado pede as retas que tocam simultaneamente as parábolas y=x^2+1 e y=-x^2-1. Vamos usar o fato de que, em um ponto de abscissa a, a reta tangente a y=x^2+1 tem coeficiente angular dado pela derivada y'=2x e passa pelo ponto (a,a^2+1). De modo análogo faremos para a segunda parábola.

Passo 2

Tangente à parábola y=x^2+1 no ponto (a,a^2+1): o coeficiente angular é m1=2a. A equação da reta em forma ponto-declive é
y - (a^2+1) = 2al(x - ar),
que se rearranja para
y = 2a,x ;-;a^2+1

Passo 3

Tangente à parábola y=-x^2-1 no ponto (c,-c^2-1): o coeficiente angular é m2=-2c. A reta é
y - l(-c^2-1r) = -2cl(x - cr),
isto é,
y = -2c,x ;+;c^2-1

Passo 4

Para ser a mesma reta, devemos ter m1=m2 e os termos independentes iguais. Logo:
2a = -2c Longrightarrow c = -a,
-,a^2+1 = c^2-1
Substituindo c=-a na segunda igualdade:
-,a^2+1 = (-a)^2-1 = a^2-1 Longrightarrow 2a^2=2 Longrightarrow a^2=1 Longrightarrow a=pm1

Passo 5

Para a=1 (e c=-1), a reta comum é
y = 2cdot1,x -1^2+1 = 2x
Para a=-1 (e c=1), a reta comum é
y = 2cdot(-1),x -(-1)^2+1 = -2x

Resposta

As retas são
y = 2x
e
y = -2x.

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