Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime+y=0, y(2)=0, y^prime(2)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + y = 0
sujeita às condições iniciais
y(2)=0 e y'(2)=0.
O conteúdo aqui é EDO com coeficientes constantes, que resolvemos pelo método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica correspondente:
r^2 + 1 = 0
As raízes são
r = pm i
Portanto, a solução geral da EDO é
y(x) = A cos x + B sin x,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Para usar a condição em y', derivamos y(x):
y'(x) = -A sin x + B cos x

Passo 4

Impondo as condições iniciais em
Esse é um sistema homogêneo em .
Logo, a única solução é

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = 0

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