Um exame vestibular para uma faculdade tem 80 questões, sendo 40 de português ( X ) e 40 de matemática ( Y ). Dos 20 candidatos com melhor desempenho, o número de acertos em cada disciplina são apresentados na Tabela 5.
Table 1: Tabela 5 - Pontuação dos 20 melhores candidatos, em ordem decrescente da pontuação total
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Candidato 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Português ( X ) 35 35 34 32 31 30 26 26 24 23 23 12 11 20 17 12 14 20 8 10
Matemática ( Y ) 31 29 27 28 28 26 30 28 25 23 21 32 31 20 21 25 20 13 23 20
Pontuação Total 66 64 61 60 59 56 56 54 49 46 44 44 42 40 38 37 34 33 31 30
a) Calcule as medidas de posição: média, mediana e moda para as pontuações em cada disciplina;
b) Calcule as medidas de dispersão: variância, desvio-padrão, e coeficiente de variação para as pontuações em cada disciplina;
c) Com todos os resultados obtidos, descreva comparativamente estas duas disciplinas em termos de medidas de posição e dispersão das pontuações e faça uma análise de assimetria das pontuações;
d) De acordo com as comparações em (c), você acha que os 20 candidatos mais bem pontuados tendem a ser melhores em português ou em matemática?
e) A relação entre as pontuações das duas disciplinas é forte? Para responder a pergunta calcule uma medida adequada.

Passo 1

O enunciado dá as pontuações em Português X e Matemática Y de n=20 candidatos. Pede:
– (a) medidas de posição (média, mediana, moda) de X e Y;
– (b) medidas de dispersão (variância, desvio-padrão, coeficiente de variação) de X e Y;
– (c) comparação entre as disciplinas em termos dessas medidas e análise de assimetria;
– (d) conclusão sobre em qual disciplina os top 20 tendem a ter melhor desempenho;
– (e) força da relação entre X e Y (cálculo de correlação).

Passo 2

Listamos os valores (X_i,Y_i), i=1,\dots,20: X: 35, 35, 34, 32, 31, 30, 26, 26, 24, 23, 23, 12, 11, 20, 17, 12, 14, 20, 8, 10 Y: 31, 29, 27, 28, 28, 26, 30, 28, 25, 23, 21, 32, 31, 20, 21, 25, 20, 13, 23, 20

Passo 3

Calculamos as médias:
\bar X=\frac{\sum X_i}{20}=\frac{443}{20}=22{,}15, \quad \bar Y=\frac{\sum Y_i}{20}=\frac{501}{20}=25{,}05.

Passo 4

Como n é par, a mediana é a média dos 10.º e 11.º valores ordenados:
Ordenando X: 8,10,11,12,12,14,17,20,20,23,23,24,26,26,30,31,32,34,35,35
\text{med}(X)=\frac{23+23}{2}=23.
Ordenando Y: 13,20,20,20,21,21,23,23,25,25,26,27,28,28,28,29,30,31,31,32
\text{med}(Y)=\frac{25+26}{2}=25{,}5.

Passo 5

As modas são os valores que aparecem com maior frequência.
Em X todos os valores 12, 20, 23, 26 e 35 ocorrem 2 vezes – é multimodal:
\text{moda}(X)=\{12,20,23,26,35\}.
Em Y os valores 20 e 28 ocorrem 3 vezes – é bimodal:
\text{moda}(Y)=\{20,28\}.

Passo 6

Calculamos variâncias populacionais:
\frac{\sum X_i^2}{20}=566{,}75,\quad \frac{\sum Y_i^2}{20}=650{,}15.
Logo
\sigma_X^2=566{,}75-(22{,}15)^2=76{,}13,\quad \sigma_Y^2=650{,}15-(25{,}05)^2=22{,}65,
e os desvios-padrão:
\sigma_X=\sqrt{76{,}13}\approx8{,}73, \quad \sigma_Y=\sqrt{22{,}65}\approx4{,}76.

Passo 7

Os coeficientes de variação são
CV_X=\frac{\sigma_X}{\bar X}\times100\%\approx\frac{8{,}73}{22{,}15}\times100\%\approx39{,}4\%, \quad CV_Y\approx\frac{4{,}76}{25{,}05}\times100\%\approx19{,}0\%.

Passo 8

Analisando assimetria pelo sinal de \bar X-\text{med}(X) e \bar Y-\text{med}(Y): \bar X=22{,}15<23=\text{med}(X) indica assimetria negativa (cauda à esquerda) em X. \bar Y=25{,}05<25{,}5=\text{med}(Y) também indica assimetria negativa em Y.

Passo 9

Comparando as disciplinas:
– Posição: \bar Y>\bar X e \text{med}(Y)>\text{med}(X), então as notas de Matemática são maiores que as de Português.
– Dispersão absoluta: \sigma_X^2>\sigma_Y^2 e \sigma_X>\sigma_Y, X é mais disperso.
– Dispersão relativa: CV_X>CV_Y, X varia mais em relação à sua média.
– Ambos têm leve assimetria negativa, mas X é mais disperso e apresenta extremos menores.

Passo 10

Como as médias e medianas de Matemática são maiores, conclui-se que os 20 melhores tendem a ter melhor desempenho em Matemática.

Passo 11

Calculamos a correlação de Pearson:
\sum X_iY_i=11388,\quad \mathrm{Cov}(X,Y)=\frac{11388}{20}-22{,}15\cdot25{,}05\approx14{,}79,
r=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\,\sigma_Y} \approx\frac{14{,}79}{8{,}73\cdot4{,}76}\approx0{,}36.
Portanto, há correlação positiva moderada entre as pontuações em X e Y.

Resposta

(a) Português: \bar X=22{,}15, \text{med}(X)=23, \text{moda}(X)=\{12,20,23,26,35\}.
Matemática: \bar Y=25{,}05, \text{med}(Y)=25{,}5, \text{moda}(Y)=\{20,28\}.
(b) Português: \sigma_X^2=76{,}13, \sigma_X=8{,}73, CV_X=39{,}4\%.
Matemática: \sigma_Y^2=22{,}65, \sigma_Y=4{,}76, CV_Y=19{,}0\%.
(c) Matemática apresenta maior posição central (média e mediana), menor dispersão absoluta e relativa; ambas têm assimetria negativa, mais acentuada em Português.
(d) Os top 20 tendem a ser melhores em Matemática.
(e) A correlação de Pearson é r\approx0{,}36, indicando relação positiva moderada entre as disciplinas.

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