Um exame vestibular para uma faculdade tem 80 questões, sendo 40 de português (
) e 40 de matemática (
). Dos 20 candidatos com melhor desempenho, o número de acertos em cada disciplina são apresentados na Tabela 5.
Table 1: Tabela 5 - Pontuação dos 20 melhores candidatos, em ordem decrescente da pontuação total\captionsetup{labelformat=empty}
Candidato
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Português (
)
35
35
34
32
31
30
26
26
24
23
23
12
11
20
17
12
14
20
8
10
Matemática (
)
31
29
27
28
28
26
30
28
25
23
21
32
31
20
21
25
20
13
23
20
Pontuação Total
66
64
61
60
59
56
56
54
49
46
44
44
42
40
38
37
34
33
31
30
a) Calcule as medidas de posição: média, mediana e moda para as pontuações em cada disciplina;
b) Calcule as medidas de dispersão: variância, desvio-padrão, e coeficiente de variação para as pontuações em cada disciplina;
c) Com todos os resultados obtidos, descreva comparativamente estas duas disciplinas em termos de medidas de posição e dispersão das pontuações e faça uma análise de assimetria das pontuações;
d) De acordo com as comparações em (c), você acha que os 20 candidatos mais bem pontuados tendem a ser melhores em português ou em matemática?
e) A relação entre as pontuações das duas disciplinas é forte? Para responder a pergunta calcule uma medida adequada.
Table 1: Tabela 5 - Pontuação dos 20 melhores candidatos, em ordem decrescente da pontuação total
\captionsetup{labelformat=empty}
Candidato | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
Português (
|
35 | 35 | 34 | 32 | 31 | 30 | 26 | 26 | 24 | 23 | 23 | 12 | 11 | 20 | 17 | 12 | 14 | 20 | 8 | 10 |
Matemática (
|
31 | 29 | 27 | 28 | 28 | 26 | 30 | 28 | 25 | 23 | 21 | 32 | 31 | 20 | 21 | 25 | 20 | 13 | 23 | 20 |
Pontuação Total | 66 | 64 | 61 | 60 | 59 | 56 | 56 | 54 | 49 | 46 | 44 | 44 | 42 | 40 | 38 | 37 | 34 | 33 | 31 | 30 |
b) Calcule as medidas de dispersão: variância, desvio-padrão, e coeficiente de variação para as pontuações em cada disciplina;
c) Com todos os resultados obtidos, descreva comparativamente estas duas disciplinas em termos de medidas de posição e dispersão das pontuações e faça uma análise de assimetria das pontuações;
d) De acordo com as comparações em (c), você acha que os 20 candidatos mais bem pontuados tendem a ser melhores em português ou em matemática?
e) A relação entre as pontuações das duas disciplinas é forte? Para responder a pergunta calcule uma medida adequada.
Passo 1
O enunciado dá as pontuações em Português
e Matemática
de
candidatos. Pede:
– (a) medidas de posição (média, mediana, moda) de e
;
– (b) medidas de dispersão (variância, desvio-padrão, coeficiente de variação) de e
;
– (c) comparação entre as disciplinas em termos dessas medidas e análise de assimetria;
– (d) conclusão sobre em qual disciplina os top 20 tendem a ter melhor desempenho;
– (e) força da relação entre e
(cálculo de correlação).
– (a) medidas de posição (média, mediana, moda) de
– (b) medidas de dispersão (variância, desvio-padrão, coeficiente de variação) de
– (c) comparação entre as disciplinas em termos dessas medidas e análise de assimetria;
– (d) conclusão sobre em qual disciplina os top 20 tendem a ter melhor desempenho;
– (e) força da relação entre
Passo 2
Listamos os valores
,
:
: 35, 35, 34, 32, 31, 30, 26, 26, 24, 23, 23, 12, 11, 20, 17, 12, 14, 20, 8, 10
: 31, 29, 27, 28, 28, 26, 30, 28, 25, 23, 21, 32, 31, 20, 21, 25, 20, 13, 23, 20
Passo 3
Calculamos as médias:
Passo 4
Como
é par, a mediana é a média dos 10.º e 11.º valores ordenados:
Ordenando :
Ordenando
Ordenando
:
Passo 5
As modas são os valores que aparecem com maior frequência.
Em todos os valores 12, 20, 23, 26 e 35 ocorrem 2 vezes – é multimodal:
Em
Em
os valores 20 e 28 ocorrem 3 vezes – é bimodal:
Passo 6
Calculamos variâncias populacionais:
Logo
e os desvios-padrão:
Passo 7
Os coeficientes de variação são
Passo 8
Analisando assimetria pelo sinal de
e
:
indica assimetria negativa (cauda à esquerda) em
.
também indica assimetria negativa em
.
Passo 9
Comparando as disciplinas:
– Posição: e
, então as notas de Matemática são maiores que as de Português.
– Dispersão absoluta: e
,
é mais disperso.
– Dispersão relativa: ,
varia mais em relação à sua média.
– Ambos têm leve assimetria negativa, mas é mais disperso e apresenta extremos menores.
– Posição:
– Dispersão absoluta:
– Dispersão relativa:
– Ambos têm leve assimetria negativa, mas
Passo 10
Como as médias e medianas de Matemática são maiores, conclui-se que os 20 melhores tendem a ter melhor desempenho em Matemática.
Passo 11
Calculamos a correlação de Pearson:
Portanto, há correlação positiva moderada entre as pontuações em
e
.
Resposta
(a) Português:
,
,
.
Matemática: ,
,
.
Matemática:
(b) Português:
,
,
.
Matemática: ,
,
.
Matemática:
(c) Matemática apresenta maior posição central (média e mediana), menor dispersão absoluta e relativa; ambas têm assimetria negativa, mais acentuada em Português.
(d) Os top 20 tendem a ser melhores em Matemática.
(e) A correlação de Pearson é
, indicando relação positiva moderada entre as disciplinas.