Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se S é LD, então A é LD ou B é LD ou C é LD.
II. Se A, B e C são todos LIs, então S é LI.
III. Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são colineares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
(A) Só II é verdadeira.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só II e III são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado dá:
  • S=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} conjunto de 3 vetores distintos em \mathbb{R}^{3}.
  • A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\}, C=\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}.
    As afirmações a verificar são:
    I. Se S é linearmente dependente (LD), então A é LD ou B é LD ou C é LD.
    II. Se A,B e C são todos linearmente independentes (LI), então S é LI.
    III. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} não são colineares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
O objetivo: decidir quais das afirmativas I, II, III são verdadeiras (escolher a alternativa correta).

Passo 2

Definições e ideias que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Linearmente dependente (LD): um conjunto de vetores é LD se existem escalares, nem todos zero, tais que uma combinação linear não-trivial dá o vetor zero. Ou seja, para \{\vec w_i\} existe \alpha_i, nem todos zero, com \sum \alpha_i \vec w_i=\vec 0.
  • Linearmente independente (LI): só a combinação trivial (todos os coeficientes zero) produz o vetor zero.
  • Para dois vetores \vec a,\vec b: o par é LD exatamente quando um é múltiplo escalar do outro (ou seja, estão na mesma reta pelo origem). Se não for múltiplo, o par é LI.
  • Para três vetores em \mathbb{R}^{3}: eles formam uma base se, e somente se, são LI (e então automaticamente geram \mathbb{R}^{3}). Três vetores LI significam que não há relação não-trivial entre eles; três vetores que estão todos em um mesmo plano através da origem (ou seja, coplanares) são LD (um deles é combinação linear dos outros dois).
  • Colineares (para três vetores): normalmente significa que todos estão sobre a mesma reta passando pela origem (ou seja, dois já determinam a reta e o terceiro é múltiplo de algum deles). Não confundir colinear com coplanar.
Vou usar contraexemplos concretos para testar as afirmativas: um único contraexemplo que satisfaz certas propriedades pode mostrar que uma afirmativa é falsa.

Passo 3

Construção do contraexemplo (vetores simples em \mathbb{R}^{3}):
Escolho
\vec{v}_1=(1,0,0),\qquad \vec{v}_2=(0,1,0),\qquad \vec{v}_3=(1,1,0).
Observações imediatas:
  • Os três vetores são distintos (as componentes são diferentes).
  • Todos têm terceira componente zero, portanto estão no plano z=0 (são coplanares). Mas atenção: isso não implica que sejam colineares (uma reta), veja abaixo.

Passo 4

Verifico que os pares A,B,C são todos LI:
  • Par A=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}: \vec{v}_2 não é múltiplo de \vec{v}_1 porque não existe escalar k tal que (k,0,0)=(0,1,0). Logo A é LI.
  • Par B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_3\}: se \vec{v}_3 fosse múltiplo de \vec{v}_1 teríamos (1,1,0)=k(1,0,0)=(k,0,0), impossível. Logo B é LI.
  • Par C=\{\vec{v}_2,\vec{v}_3\}: se \vec{v}_3 fosse múltiplo de \vec{v}_2 teríamos (1,1,0)=k(0,1,0)=(0,k,0), impossível. Logo C é LI.
Logo, todos os pares A,B,C são linearmente independentes.

Passo 5

Verifico que S é LD (aqui está a dependência linear):
Note que
\vec{v}_1+\vec{v}_2-\vec{v}_3=(1,0,0)+(0,1,0)-(1,1,0)=(0,0,0).
Isto é uma combinação linear não-trivial (coeficientes 1,1,-1, nem todos zero) que dá \vec{0}. Portanto S é linearmente dependente.

Passo 6

Conclusões sobre as afirmativas usando o contraexemplo:
  • I. Afirma: “Se S é LD então algum dos pares é LD.” No contraexemplo temos S LD, mas A,B,C todos LI. Logo a conclusão da afirmação I é falsa. Portanto I é falsa.
  • II. Afirma: “Se A,B,C são todos LI então S é LI.” No contraexemplo A,B,C são todos LI, mas S é LD. Logo II é falsa.
  • III. Afirma: “Se \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 não são colineares, então S é base de \mathbb{R}^{3}.” No contraexemplo os vetores não são colineares (não estão todos na mesma reta — por exemplo \vec{v}_1 e \vec{v}_2 não são múltiplos), mas S não é base de \mathbb{R}^{3}: eles não geram \mathbb{R}^{3} (têm terceira componente zero, então geram apenas o plano z=0) e, além disso, S é LD. Portanto III é falsa.
Assim, as três afirmações I, II e III são falsas.

Passo 7

Resumo pedagógico final (para lembrar na prova):
  • Três vetores LD não implicam que algum par seja LD: o caso típico é quando um vetor é combinação dos outros dois, mas nenhum é múltiplo de outro (esses são pares LI).
  • Ter todos os pares LI não garante que o trio seja LI; ainda pode existir uma relação \alpha_1\vec v_1+\alpha_2\vec v_2+\alpha_3\vec v_3=\vec 0 com \alpha_i não todos nulos.
  • Para que três vetores formem base de \mathbb{R}^{3} é necessário que sejam LI (e então geram \mathbb{R}^{3}). Não ser colinear (não estarem sobre a mesma reta) não é suficiente — eles podem ser coplanares e assim não gerar todo \mathbb{R}^{3}.

Resposta

(H)

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