Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LD, então
é LD ou
é LD ou
é LD.
II. Se
e
são todos LIs, então
é LI.
III. Se
não são colineares, então
é uma base de
.
(A) Só II é verdadeira.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só II e III são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só II é verdadeira.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só II e III são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.
Passo 1
O enunciado dá:
-
conjunto de 3 vetores distintos em . -
, , .
As afirmações a verificar são:
I. Seé linearmente dependente (LD), então é LD ou é LD ou é LD.
II. See são todos linearmente independentes (LI), então é LI.
III. Senão são colineares, então é uma base de .
O objetivo: decidir quais das afirmativas I, II, III são verdadeiras (escolher a alternativa correta).
Passo 2
Definições e ideias que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Linearmente dependente (LD): um conjunto de vetores é LD se existem escalares, nem todos zero, tais que uma combinação linear não-trivial dá o vetor zero. Ou seja, para
existe , nem todos zero, com . - Linearmente independente (LI): só a combinação trivial (todos os coeficientes zero) produz o vetor zero.
- Para dois vetores
: o par é LD exatamente quando um é múltiplo escalar do outro (ou seja, estão na mesma reta pelo origem). Se não for múltiplo, o par é LI. - Para três vetores em
: eles formam uma base se, e somente se, são LI (e então automaticamente geram ). Três vetores LI significam que não há relação não-trivial entre eles; três vetores que estão todos em um mesmo plano através da origem (ou seja, coplanares) são LD (um deles é combinação linear dos outros dois). - Colineares (para três vetores): normalmente significa que todos estão sobre a mesma reta passando pela origem (ou seja, dois já determinam a reta e o terceiro é múltiplo de algum deles). Não confundir colinear com coplanar.
Vou usar contraexemplos concretos para testar as afirmativas: um único contraexemplo que satisfaz certas propriedades pode mostrar que uma afirmativa é falsa.
Passo 3
Construção do contraexemplo (vetores simples em
):
Escolho
Escolho
Observações imediatas:
- Os três vetores são distintos (as componentes são diferentes).
- Todos têm terceira componente zero, portanto estão no plano
(são coplanares). Mas atenção: isso não implica que sejam colineares (uma reta), veja abaixo.
Passo 4
Verifico que os pares
são todos LI:
- Par
: não é múltiplo de porque não existe escalar tal que . Logo é LI. - Par
: se fosse múltiplo de teríamos , impossível. Logo é LI. - Par
: se fosse múltiplo de teríamos , impossível. Logo é LI.
Logo, todos os pares
são linearmente independentes.
Passo 5
Verifico que
é LD (aqui está a dependência linear):
Note que
Note que
Isto é uma combinação linear não-trivial (coeficientes
, nem todos zero) que dá
. Portanto
é linearmente dependente.
Passo 6
Conclusões sobre as afirmativas usando o contraexemplo:
- I. Afirma: “Se
é LD então algum dos pares é LD.” No contraexemplo temos LD, mas todos LI. Logo a conclusão da afirmação I é falsa. Portanto I é falsa. - II. Afirma: “Se
são todos LI então é LI.” No contraexemplo são todos LI, mas é LD. Logo II é falsa. - III. Afirma: “Se
não são colineares, então é base de .” No contraexemplo os vetores não são colineares (não estão todos na mesma reta — por exemplo e não são múltiplos), mas não é base de : eles não geram (têm terceira componente zero, então geram apenas o plano ) e, além disso, é LD. Portanto III é falsa.
Assim, as três afirmações I, II e III são falsas.
Passo 7
Resumo pedagógico final (para lembrar na prova):
- Três vetores LD não implicam que algum par seja LD: o caso típico é quando um vetor é combinação dos outros dois, mas nenhum é múltiplo de outro (esses são pares LI).
- Ter todos os pares LI não garante que o trio seja LI; ainda pode existir uma relação
com não todos nulos. - Para que três vetores formem base de
é necessário que sejam LI (e então geram ). Não ser colinear (não estarem sobre a mesma reta) não é suficiente — eles podem ser coplanares e assim não gerar todo .
Resposta
(H)