Q15: Seja
e
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por
as coordenadas de
com relação à base
, calcule o valor de
.
(A) -2
(B) -3
(C) 1
(D) -1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) -4
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por
(A) -2
(B) -3
(C) 1
(D) -1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) -4
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e a base
composta pelos polinômios
Pede-se: denotando por
as coordenadas de
na base
, calcular o valor de
.
Informações relevantes listadas:
- O vetor (polinômio)
deve ser escrito como combinação linear dos vetores da base: . - Cada coeficiente de
, e em deve coincidir com a combinação linear dos respectivos coeficientes em . - Queremos apenas o terceiro componente das coordenadas, isto é,
.
Passo 2
Escrever a igualdade de combinação linear pedida:
Isso significa explicitamente
Explicação didática: representar um polinômio em uma base significa achar escalares
tais que, para todo
, os dois polinômios sejam iguais. Portanto os coeficientes das potências
vão coincidir.
Passo 3
Igualar coeficientes das potências
Comentário: cada linha veio de somar os termos constantes, os termos com
respectivamente.]
Passo 4
Resolver o sistema por eliminação. Primeiro isolar
na primeira equação:
Explicação: multipliquei por
e reorganizei para expressar
em função de
e
, isso facilita substituir nas outras equações.
Passo 5
Substituir
nas equações 2 e 3 para obter equações só em
e
.
Na equação do coeficiente de
:
Desenvolvendo:
Isolando
:
Na equação do coeficiente de
:
Desenvolvendo:
Isolando
:
Comentário: agora temos duas expressões para
em função de
:
e
.
Passo 6
Igualar as duas expressões de
e resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isolando
:
Assim, o valor procurado é
.