Q15: Seja p(x)=-6-2 x-23 x^{2} e
\beta=\left\{-1-x-3 x^{2}, \quad-1+2 x-6 x^{2}, \quad 3+2 x+11 x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -2
(B) -3
(C) 1
(D) -1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) -4

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x) = -6 -2x -23x^{2}
e a base \beta composta pelos polinômios
v_{1}(x) = -1 - x - 3x^{2},\qquad v_{2}(x) = -1 + 2x - 6x^{2},\qquad v_{3}(x) = 3 + 2x + 11x^{2}.
Pede-se: denotando por [p]_{\beta}=(a,b,c) as coordenadas de p na base \beta, calcular o valor de c.
Informações relevantes listadas:
  • O vetor (polinômio) p deve ser escrito como combinação linear dos vetores da base: p = a v_{1} + b v_{2} + c v_{3}.
  • Cada coeficiente de 1, x e x^{2} em p deve coincidir com a combinação linear dos respectivos coeficientes em v_{1},v_{2},v_{3}.
  • Queremos apenas o terceiro componente das coordenadas, isto é, c.

Passo 2

Escrever a igualdade de combinação linear pedida:
p(x) = a\,v_{1}(x) + b\,v_{2}(x) + c\,v_{3}(x).
Isso significa explicitamente
-6 -2x -23x^{2} = a(-1 - x - 3x^{2}) + b(-1 + 2x -6x^{2}) + c(3 + 2x +11x^{2}).
Explicação didática: representar um polinômio em uma base significa achar escalares a,b,c tais que, para todo x, os dois polinômios sejam iguais. Portanto os coeficientes das potências 1,x,x^{2} vão coincidir.

Passo 3

Igualar coeficientes das potências 1\), \(x\) e \(x^{2}\). Extraindo os coeficientes do lado direito obtemos o sistema linear \[\begin{cases} \text{constante:}& -6 = -a - b + 3c,\\[4pt] \text{coef. de }x:& -2 = -a + 2b + 2c,\\[4pt] \text{coef. de }x^{2}:& -23 = -3a -6b +11c. \end{cases}
Comentário: cada linha veio de somar os termos constantes, os termos com x\] e os termos com \(x^{2} respectivamente.]

Passo 4

Resolver o sistema por eliminação. Primeiro isolar a na primeira equação:
-6 = -a - b + 3c \quad\Rightarrow\quad -a = -6 + b -3c \quad\Rightarrow\quad a = 6 - b + 3c.
Explicação: multipliquei por -1 e reorganizei para expressar a em função de b e c, isso facilita substituir nas outras equações.

Passo 5

Substituir a = 6 - b + 3c nas equações 2 e 3 para obter equações só em b e c.
Na equação do coeficiente de x:
-2 = -a + 2b + 2c = -(6 - b + 3c) + 2b + 2c.
Desenvolvendo:
-2 = -6 + b -3c + 2b + 2c = -6 + 3b - c.
Isolando b:
3b - c = 4 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{4 + c}{3}.
Na equação do coeficiente de x^{2}:
-23 = -3a -6b +11c = -3(6 - b + 3c) -6b +11c.
Desenvolvendo:
-23 = -18 + 3b -9c -6b +11c = -18 -3b +2c.
Isolando b:
-3b + 2c = -5 \quad\Rightarrow\quad -3b = -5 -2c \quad\Rightarrow\quad b = \frac{5 + 2c}{3}.
Comentário: agora temos duas expressões para b em função de c: b=\dfrac{4+c}{3} e b=\dfrac{5+2c}{3}.

Passo 6

Igualar as duas expressões de b e resolver para c:
\frac{4 + c}{3} = \frac{5 + 2c}{3}.
Multiplicando ambos os lados por 3 obtemos
4 + c = 5 + 2c.
Isolando c:
4 - 5 = 2c - c \quad\Rightarrow\quad -1 = c.
Assim, o valor procurado é c = -1.

Resposta

-1

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