1. Examinando o sistema \left\{\begin{aligned} 5 x+4 y-2 z & =0 \\\ x+8 y+2 z & =0 \\\\ 2 x+y-z & =0\end{aligned}\right. podemos concluir que:
    a) o sistema possui apenas a solução trivial;
    b) o sistema é indeterminado, com uma incógnita arbitrária;
    c) o sistema é indeterminado, com duas incógnita arbitrária;
    d) o sistema possui além da solução trivial, a solução x=0, y=1 e z=2;
    e) o sistema é impossível.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O sistema é
\begin{cases} 5x+4y-2z=0,\\[4pt] x+8y+2z=0,\\[4pt] 2x+y-z=0. \end{cases}
  • O enunciado pede que se conclua qual das alternativas (a)–(e) é verdadeira:
    a) apenas a solução trivial;
    b) indeterminado, com uma incógnita arbitrária;
    c) indeterminado, com duas incógnitas arbitrárias;
    d) além da trivial, a solução x=0,y=1,z=2;
    e) impossível.
Todas as informações relevantes do enunciado estão as três equações lineares homogêneas acima. A resolução começa no Passo 2.]

Passo 2

Estratégia escolhida (por que usar este método): a segunda equação tem coeficiente 1 em x, o que facilita isolar x e fazer substituição direta nas outras equações sem muita conta. Essa é uma técnica simples e segura para sistemas lineares homogêneos; assim conseguimos ver se há soluções não-triviais e parametrizá-las. (Como verificação alternativa, mais adiante eu calculo o determinante da matriz dos coeficientes.)

Passo 3

Isolar x a partir da segunda equação. Da equação
x+8y+2z=0
temos
x=-8y-2z.

Passo 4

Substituir esse x na terceira equação para obter uma relação entre y e z. A terceira equação é
2x+y-z=0.
Substituindo x=-8y-2z obtemos
2(-8y-2z)+y-z=0.
Agora simplificamos passo a passo:
-16y-4z+y-z=0,
-15y-5z=0.
Dividindo por -5 (operações válidas) dá
3y+z=0,
então
z=-3y.

Passo 5

Voltar para x usando z=-3y. Lembrando x=-8y-2z, substitui-se z:
x=-8y-2(-3y)=-8y+6y=-2y.

Passo 6

Verificar que essa família de soluções satisfaz também a primeira equação (consistência). Substituindo x=-2y e z=-3y na primeira equação:
5(-2y)+4y-2(-3y)=-10y+4y+6y=0,
portanto a primeira equação é satisfeita. Logo todas as três equações são satisfeitas por qualquer y.

Passo 7

Escrever a solução geral em forma paramétrica. Tomando y=t como parâmetro real arbitrário, obtemos
(x,y,z)=( -2t,\; t,\; -3t)=t(-2,1,-3),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto mostra que existe uma família infinita de soluções: o espaço de soluções é uma reta (dimensão 1), o que significa exatamente que há uma incógnita livre (um parâmetro).
Observação alternativa (verificação): calcular o determinante da matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix}5&4&-2\\[4pt]1&8&2\\[4pt]2&1&-1\end{pmatrix}.
Expandindo por primeira linha:
\det(A)=5\det\begin{pmatrix}8&2\\[4pt]1&-1\end{pmatrix}-4\det\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]2&-1\end{pmatrix}-2\det\begin{pmatrix}1&8\\[4pt]2&1\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}8&2\\[4pt]1&-1\end{pmatrix}=8(-1)-2(1)=-10,
\det\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]2&-1\end{pmatrix}=1(-1)-2(2)=-5,
\det\begin{pmatrix}1&8\\[4pt]2&1\end{pmatrix}=1\cdot1-8\cdot2=-15.
Logo
\det(A)=5(-10)-4(-5)-2(-15)=-50+20+30=0.
Determinante zero confirma que a matriz não é invertível, então o sistema homogêneo tem soluções não-triviais; como encontramos explicitamente uma família com um parâmetro, a dimensão do espaço solução é 1 (uma incógnita livre).]

Resposta

b) o sistema é indeterminado, com uma incógnita arbitrária.

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