Indique se as seguintes sentenças são VERDADEIRAS (V) ou FALSAS (F):
( ) Para matrizes A e B de ordem n, vale (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.
( ) Se A é uma matriz 2 \times 2 tal que A^{2}=\mathbf{0}_{2}, então A=\mathbf{0}_{2}.
( ) É possível somar matrizes de ordem diferentes.
( ) Todo sistema linear homogêneo (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) admite uma solução.
( ) Para o sistema A X=B se A admite uma inversa, então X=A^{-1} B é a solução desse sistema.
( ) O sistema linear \left\{\begin{array}{l}2 x-6 y=-8 \\\\ -x+3 y=4\end{array}\right. é impossível.
( ) Se a primeira linha da matriz A é igual a metade da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então \operatorname{det}(A)=\frac{1}{2} \operatorname{det}(B).
( ) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
( ) Para matrizes A e B invertíveis, vale (A \cdot B)^{-1}=A^{-1} B^{-1}.
( ) Se B=A A^{t} A^{-1}, então \operatorname{det} B=\operatorname{det} A.
Passo 1
O enunciado pede que eu indique se cada uma das 10 sentenças é VERDADEIRA (V) ou FALSA (F). Vou listá‑las aqui (copiei os enunciados para ficar claro o que é pedido):
Para matrizes A e B de ordem n, vale (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.
Se A é uma matriz 2\times2 tal que A^{2}=\mathbf{0}_{2}, então A=\mathbf{0}_{2}.
É possível somar matrizes de ordem diferentes.
Todo sistema linear homogêneo (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) admite uma solução.
Para o sistema A X=B se A admite uma inversa, então X=A^{-1} B é a solução desse sistema.
O sistema linear \left\{\begin{array}{l}2x-6y=-8 \\\\ -x+3y=4\end{array}\right. é impossível.
Se a primeira linha da matriz A é igual a metade da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então \det(A)=\tfrac{1}{2}\det(B).
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
Para matrizes A e B invertíveis, vale (A \cdot B)^{-1}=A^{-1} B^{-1}.
Se B=A A^{t} A^{-1}, então \det B=\det A.
Agora vou examinar cada uma, explicando bem devagar por que é V ou F, com exemplos quando necessário.
Passo 2
Sentença 1: (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.
Explicação e prova elementar: a transposta troca linhas por colunas. Por componentes, (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}. Ao transpor,
Isso vale para todo i,j, logo (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}. Conclusão: a propriedade é verdadeira porque a operação de soma é componente a componente e a transposição apenas permuta índices. Portanto esta sentença é VERDADEIRA.
Passo 3
Sentença 2: Se A é 2\times2 e A^{2}=\mathbf{0}_{2}, então A=\mathbf{0}_{2}.
Comentário e contraexemplo: existe a noção de matriz nilpotente: matriz não nula cuja alguma potência é a matriz zero. Um exemplo simples em 2\times2 é
Aqui A\neq\mathbf{0}_{2} e A^{2}=\mathbf{0}_{2}. Logo a afirmação geral é falsa. Conclusão: FALSA.]
Passo 4
Sentença 3: É possível somar matrizes de ordem diferentes.
Explicação: a soma de matrizes é definida componente a componente, linha por linha e coluna por coluna; por isso é necessária a correspondência de índices. Para somar A e B deve haver o mesmo número de linhas e de colunas. Por exemplo, não faz sentido somar uma matriz 2\times2 com uma 2\times3 porque não há correspondência para todos os elementos. Portanto, em geral, somar matrizes de ordens diferentes não é permitido. Conclusão: FALSA.
Passo 5
Sentença 4: Todo sistema linear homogêneo admite uma solução.
Explicação: um sistema linear homogêneo tem a forma A X=\mathbf{0}, onde \mathbf{0} é o vetor nulo. O vetor X=\mathbf{0} (o vetor nulo) satisfaz A\mathbf{0}=\mathbf{0} sempre. Assim existe pelo menos essa solução trivial. Pode haver mais (infinitas) quando A é singular, mas a existência mínima sempre ocorre. Conclusão: VERDADEIRA.
Passo 6
Sentença 5: Para o sistema A X=B se A admite uma inversa, então X=A^{-1} B é a solução desse sistema.
Explicação passo a passo: se A é inversível, multiplica-se ambos os lados por A^{-1} à esquerda:
A X=B \quad\Rightarrow\quad A^{-1}(A X)=A^{-1}B.
Pela associatividade e pelo fato de A^{-1}A=I,
(A^{-1}A)X = I X = X = A^{-1}B.
Portanto X=A^{-1}B resolve o sistema. Além disso é a única solução porque se X_1,X_2 fossem soluções, A(X_1-X_2)=0 implicaria X_1-X_2=0 (multiplicando por A^{-1}). Conclusão: VERDADEIRA.
Passo 7
Sentença 6: O sistema \left\{\begin{array}{l}2x-6y=-8 \\\\ -x+3y=4\end{array}\right. é impossível.
Análise das equações: examine a relação entre as duas linhas. Multiplicando a segunda equação por -2 obtém-se:
Isso mostra que as duas equações são exatamente a mesma (dependência linear): não há contradição, são a mesma reta no plano. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções (todos os pares (x,y) que satisfazem uma equação única). Por exemplo, da segunda equação -x+3y=4 isolamos x=3y-4, que dá infinitas soluções parametrizadas por y. Logo o sistema não é impossível. Conclusão: FALSA.
Passo 8
Sentença 7: Se a primeira linha de A é metade da primeira linha de B e as demais linhas coincidem, então \det(A)=\tfrac{1}{2}\det(B).
Explicação: o determinante é linear em cada linha (ou coluna) separadamente — propriedade chamada multilinearidade. Em particular, multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c. Aqui a única diferença entre A e B é que a primeira linha de A é \tfrac{1}{2} da primeira linha de B; as outras linhas são iguais. Assim
\det(A)=\tfrac{1}{2}\det(B).
Isso é direto pela propriedade de linearidade em uma linha. Conclusão: VERDADEIRA.
Passo 9
Sentença 8: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
Explicação: para matrizes triangulares (superior ou inferior), o cálculo do determinante via expansão por menores ou eliminação gaussiana mostra que o determinante é exatamente o produto dos elementos da diagonal principal. Intuição rápida: em eliminação sem troca de linhas, as operações que preservam triangularidade deixam o produto diagonal como resultado; formalmente, por indução ou pela forma triangular, o determinante é esse produto. Exemplo: para
T=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix}
temos \det(T)=ac. Portanto a afirmação é VERDADEIRA.]
Passo 10
Sentença 9: Para A e B invertíveis, (A\cdot B)^{-1}=A^{-1} B^{-1}.
Explicação e correção: o inverso do produto tem a ordem invertida. Verifique multiplicando A\!B por B^{-1}A^{-1}:
(A B)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1}=A I A^{-1}=I.
Também (B^{-1}A^{-1})(A B)=I. Assim (A B)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, e não A^{-1}B^{-1}. A ordem importa porque a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral. Logo a sentença dada é FALSA.
Passo 11
Sentença 10: Se B=A A^{t} A^{-1}, então \det B=\det A.
Explicação usando propriedades do determinante: o determinante do produto é o produto dos determinantes e \det(A^{t})=\det(A). Então